不等式 $(2x+y-5)(x-y+1) \le 0$ の表す領域を求めよ。ただし、境界線を含む。

1. 問題の内容

不等式 $(2x+y-5)(x-y+1) \le 0$ の表す領域を求めよ。ただし、境界線を含む。

2. 解き方の手順

与えられた不等式は、2つの一次式の積が0以下であるという形をしています。したがって、以下の2つの場合に分けて考えます。

(i) $2x+y-5 \ge 0$ かつ $x-y+1 \le 0$ の場合

(ii) $2x+y-5 \le 0$ かつ $x-y+1 \ge 0$ の場合

(i)の場合:

$2x+y-5 \ge 0$ より $y \ge -2x+5$

$x-y+1 \le 0$ より $y \ge x+1$

(ii)の場合:

$2x+y-5 \le 0$ より $y \le -2x+5$

$x-y+1 \ge 0$ より $y \le x+1$

それぞれの不等式をグラフで表すと、

$y = -2x + 5$ と $y = x + 1$ の交点は、

$-2x + 5 = x + 1$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}$

したがって、2直線の交点は $(\frac{4}{3}, \frac{7}{3})$

(i) の場合は、$y \ge -2x+5$ かつ $y \ge x+1$ であり、2直線の上の領域になります。

(ii) の場合は、$y \le -2x+5$ かつ $y \le x+1$ であり、2直線の下の領域になります。

3. 最終的な答え

領域は、

(i) $y \ge -2x+5$ かつ $y \ge x+1$

または

(ii) $y \le -2x+5$ かつ $y \le x+1$

を満たす領域です。境界線を含む。