(1) $x$ に関する2つの不等式 $|x+1|<4$ と $ax > a+1$ が与えられたとき、まず $|x+1|<4$ を解き、$a$ の値の範囲を求める。ここで、$ax > a+1$ を満たす整数解がちょうど3個となるような $a$ の範囲を求める。 (2) 袋の中に、1と書かれたカードが3枚、2と書かれたカードが2枚、3と書かれたカードが1枚、計6枚のカードが入っている。この袋から2枚のカードを同時に取り出し、取り出したカードに書かれた数字の和を $X$ とするとき、$X=4$ となる確率と $X$ の期待値を求める。 (3) 数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ がある。$\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_6 = 56$, $a_{20} = 168$ を満たしている。また、$\{b_n\}$ は $b_1 = 9$, $b_{n+1}-b_n = a_n$ で定められている。数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求め、$\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k b_{k+1}}$ を求める。 (4) 関数 $y=\sin x + \cos x - 2\sin x \cos x + 3$ について、$\sin x + \cos x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表し、$y$ の最大値と最小値を求める。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $x$ に関する2つの不等式 $|x+1|<4$ と $ax > a+1$ が与えられたとき、まず $|x+1|<4$ を解き、$a$ の値の範囲を求める。ここで、$ax > a+1$ を満たす整数解がちょうど3個となるような $a$ の範囲を求める。

(2) 袋の中に、1と書かれたカードが3枚、2と書かれたカードが2枚、3と書かれたカードが1枚、計6枚のカードが入っている。この袋から2枚のカードを同時に取り出し、取り出したカードに書かれた数字の和を $X$ とするとき、$X=4$ となる確率と $X$ の期待値を求める。

(3) 数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ がある。$\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_6 = 56$, $a_{20} = 168$ を満たしている。また、$\{b_n\}$ は $b_1 = 9$, $b_{n+1}-b_n = a_n$ で定められている。数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求め、$\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k b_{k+1}}$ を求める。

(4) 関数 $y=\sin x + \cos x - 2\sin x \cos x + 3$ について、$\sin x + \cos x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表し、$y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$|x+1|<4$ を解くと、 $-4 < x+1 < 4$ より $-5 < x < 3$。

$ax > a+1$ について、

$a>0$ のとき、$x > \frac{a+1}{a} = 1 + \frac{1}{a}$

$a<0$ のとき、$x < \frac{a+1}{a} = 1 + \frac{1}{a}$

$-5 < x < 3$ の範囲に整数 $x$ は $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$ の7個。$x > 1 + \frac{1}{a}$ を満たす整数解が3個となるのは、$x=0, 1, 2$ のとき。このとき、$1 \le 1 + \frac{1}{a} < 2$ でなければならない。$0 \le \frac{1}{a} < 1$ より、$a > 1$.

$-1 < x < 1$ より $1 + \frac{1}{a} < -1$より$\frac{1}{a} < -2$より$-\frac{1}{2} < a < 0$

$a<0$のとき、$x < 1 + \frac{1}{a}$

$-5 < x < 3$ に整数 $x$ は $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$。この内3個になるように $1 + \frac{1}{a}$の位置を考えると $1+1/a$は$-2< 1 + 1/a \le -1$

$-3 < 1/a \le -2$より $-1/2 \le a < -1/3$

(2)

$X=4$ となるのは、(1,3), (2,2) の組み合わせ。

確率は $\frac{{3 \choose 1} {1 \choose 1} + {2 \choose 2}}{{6 \choose 2}} = \frac{3 + 1}{15} = \frac{4}{15}$.

$X$ の取りうる値は 2, 3, 4,

5. $X=2$ となる確率 $\frac{{3 \choose 2}}{{6 \choose 2}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

$X=3$ となる確率 $\frac{{3 \choose 1}{2 \choose 1}}{{6 \choose 2}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.

$X=5$ となる確率 $\frac{{2 \choose 1}{1 \choose 1}}{{6 \choose 2}} = \frac{2}{15}$.

$E(X) = 2\cdot \frac{3}{15} + 3 \cdot \frac{6}{15} + 4 \cdot \frac{4}{15} + 5 \cdot \frac{2}{15} = \frac{6 + 18 + 16 + 10}{15} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3}$

(3)

$a_n$ は等差数列より、$a_n = a_1 + (n-1)d$.

$a_6 = a_1 + 5d = 56$, $a_{20} = a_1 + 19d = 168$.

$14d = 112$ より $d=8$, $a_1 = 56 - 5 \times 8 = 16$, $a_n = 16 + 8(n-1) = 8n + 8 = 8(n+1)$.

$b_{n+1}-b_n = a_n$ より $b_{n+1}-b_n = 8(n+1)$.

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 8(k+1) = 9 + 8\sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 9 + 8(\frac{(n-1)n}{2} + (n-1)) = 9 + 4n(n-1) + 8(n-1) = 9 + 4n^2 - 4n + 8n - 8 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n+1)^2$.

$\frac{a_n}{b_n b_{n+1}} = \frac{8(n+1)}{(2n+1)^2 (2(n+1)+1)^2} = \frac{8(n+1)}{(2n+1)^2 (2n+3)^2}$.

$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^n \frac{8(k+1)}{(2k+1)^2(2k+3)^2}$

部分分数分解すると $\frac{A}{2k+1} + \frac{B}{(2k+1)^2} + \frac{C}{2k+3} + \frac{D}{(2k+3)^2}$.

(4)

$y=\sin x + \cos x - 2\sin x \cos x + 3$ で $\sin x + \cos x = t$ とおく。$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x = t^2$.

$2\sin x \cos x = t^2 - 1$.

$y = t - (t^2 - 1) + 3 = -t^2 + t + 4$.

$y = -(t^2 - t) + 4 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 4 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{17}{4}$.

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4})$.

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

$t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{17}{4}$.

$t = -\sqrt{2}$ のとき最小値 $-(-\sqrt{2} - \frac{1}{2})^2 + \frac{17}{4} = -(2 + \sqrt{2} + \frac{1}{4}) + \frac{17}{4} = -2 - \sqrt{2} - \frac{1}{4} + \frac{17}{4} = -2 - \sqrt{2} + 4 = 2 - \sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(1) ア: $-5<x<3$, イ: $-\frac{1}{2} \le a < -\frac{1}{3}$

(2) ウ: $\frac{4}{15}$, エ: $\frac{10}{3}$

(3) オ: $8n+8$, カ: $(2n+1)^2$, キ: (解けませんでした)

(4) ク: $-t^2 + t + 4$, ケ: $\frac{17}{4}$, コ: $2-\sqrt{2}$