等差数列$\{a_n\}$があり、第3項が15、第7項が39である。 (1) 一般項$a_n$を求める。 (2) 237が第何項であるかを求める。 (3) 初項から第n項までの和$S_n$を求める。 (4) $S_n = 300$のとき、$n$の値を求める。

1. 問題の内容

等差数列$\{a_n\}$があり、第3項が15、第7項が39である。

(1) 一般項$a_n$を求める。

(2) 237が第何項であるかを求める。

(3) 初項から第n項までの和$S_n$を求める。

(4) $S_n = 300$のとき、$n$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 一般項$a_n$を求める。

等差数列の一般項は$a_n = a + (n-1)d$で表される。ここで、$a$は初項、$d$は公差である。

第3項が15なので、$a_3 = a + 2d = 15$。

第7項が39なので、$a_7 = a + 6d = 39$。

2つの式を連立して解く。

$a + 6d = 39$

$a + 2d = 15$

上の式から下の式を引くと、$4d = 24$となり、$d = 6$。

$a + 2(6) = 15$より、$a = 15 - 12 = 3$。

したがって、$a_n = 3 + (n-1)6 = 3 + 6n - 6 = 6n - 3$。

(2) 237が第何項であるかを求める。

$a_n = 237$となる$n$を求める。

$6n - 3 = 237$

$6n = 240$

$n = 40$

したがって、237は第40項である。

(3) 初項から第n項までの和$S_n$を求める。

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$で表される。

$a_1 = 6(1) - 3 = 3$

$a_n = 6n - 3$

$S_n = \frac{n}{2}(3 + 6n - 3) = \frac{n}{2}(6n) = 3n^2$。

(4) $S_n = 300$のとき、$n$の値を求める。

$3n^2 = 300$

$n^2 = 100$

$n = \pm 10$

$n$は自然数なので、$n = 10$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 6n - 3$

(2) 第40項

(3) $S_n = 3n^2$

(4) $n = 10$