$a$ を定数とする2次関数 $y = 2x^2 + (4a-6)x + 4a^2 - 2a + 6$ のグラフを $C$ とする。 (1) グラフ $C$ の頂点の座標を求める。 (2) グラフ $C$ と $x$ 軸が異なる2点で交わるための $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする2次関数 $y = 2x^2 + (4a-6)x + 4a^2 - 2a + 6$ のグラフを $C$ とする。

(1) グラフ $C$ の頂点の座標を求める。

(2) グラフ $C$ と $x$ 軸が異なる2点で交わるための $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + (4a-6)x + 4a^2 - 2a + 6$

$y = 2[x^2 + (2a-3)x] + 4a^2 - 2a + 6$

$y = 2[x^2 + (2a-3)x + (\frac{2a-3}{2})^2 - (\frac{2a-3}{2})^2] + 4a^2 - 2a + 6$

$y = 2[ (x + \frac{2a-3}{2})^2 - \frac{4a^2 - 12a + 9}{4} ] + 4a^2 - 2a + 6$

$y = 2(x + \frac{2a-3}{2})^2 - \frac{4a^2 - 12a + 9}{2} + 4a^2 - 2a + 6$

$y = 2(x + \frac{2a-3}{2})^2 + \frac{-4a^2 + 12a - 9 + 8a^2 - 4a + 12}{2}$

$y = 2(x + \frac{2a-3}{2})^2 + \frac{4a^2 + 8a + 3}{2}$

よって、頂点の座標は $(-\frac{2a-3}{2}, \frac{4a^2 + 8a + 3}{2})$

頂点のx座標は $-\frac{2a-3}{2} = \frac{-2a+3}{2} = \frac{-6a+9}{6} = -a + \frac{3}{2} = -a + 1.5$

頂点のy座標は $\frac{4a^2 + 8a + 3}{2} = 2a^2 + 4a + \frac{3}{2}$

したがって、頂点の座標は $(\frac{-2a+3}{2}, \frac{4a^2 + 8a + 3}{2})$ となる。

(2) グラフCとx軸が異なる2点で交わるための条件を求める。

グラフCとx軸が異なる2点で交わるためには、頂点のy座標が負でなければならない。

$\frac{4a^2 + 8a + 3}{2} < 0$

$4a^2 + 8a + 3 < 0$

$(2a + 1)(2a + 3) < 0$

$-\frac{3}{2} < a < -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) グラフCの頂点の座標は $(\frac{-2a+3}{2}, \frac{4a^2+8a+3}{2})$ である。

(2) グラフCとx軸が異なる2点で交わるためのaの値の範囲は $-\frac{3}{2} < a < -\frac{1}{2}$ である。