問題は2つあります。 (1) 2つのグラフ $y = x^2 - 4x + 12$ と $y = 3x + 2$ の共有点の $x$ 座標を求める。 (2) 2次方程式 $x^2 + 2(a-3)x - 12a = 0$ が重解を持つときの $a$ の値と、そのときの重解 $x$ を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 2つのグラフ $y = x^2 - 4x + 12$ と $y = 3x + 2$ の共有点の $x$ 座標を求める。

(2) 2次方程式 $x^2 + 2(a-3)x - 12a = 0$ が重解を持つときの $a$ の値と、そのときの重解 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2つのグラフの共有点の $x$ 座標は、連立方程式

$y = x^2 - 4x + 12$

$y = 3x + 2$

の解 $x$ です。

2つの式から $y$ を消去すると、

$x^2 - 4x + 12 = 3x + 2$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

$(x - 2)(x - 5) = 0$

$x = 2, 5$

(2)

2次方程式 $x^2 + 2(a-3)x - 12a = 0$ が重解を持つとき、判別式 $D$ が 0 となります。

$D = [2(a-3)]^2 - 4(1)(-12a)$

$= 4(a^2 - 6a + 9) + 48a$

$= 4(a^2 - 6a + 9 + 12a)$

$= 4(a^2 + 6a + 9)$

$= 4(a+3)^2$

$D = 0$ となるのは、 $4(a+3)^2 = 0$ より $a = -3$ のときです。

$a = -3$ を元の2次方程式に代入すると、

$x^2 + 2(-3 - 3)x - 12(-3) = 0$

$x^2 - 12x + 36 = 0$

$(x - 6)^2 = 0$

$x = 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, 5$

(2) $a = -3$, $x = 6$