第2項が12で、初項から第3項までの和が63である等比数列 $\{a_n\}$ の第4項を求める問題。ただし、公比 $r$ が1の場合と $\frac{5}{6}$ の場合について、それぞれ第4項の値を答える。

1. 問題の内容

第2項が12で、初項から第3項までの和が63である等比数列 $\{a_n\}$ の第4項を求める問題。ただし、公比 $r$ が1の場合と $\frac{5}{6}$ の場合について、それぞれ第4項の値を答える。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$ 、公比を $r$ とする。

問題文より、第2項が12なので、

$ar = 12$

初項から第3項までの和が63なので、

$a + ar + ar^2 = 63$

$ar = 12$ を $a + ar + ar^2 = 63$ に代入すると、

$a + 12 + 12r = 63$

$a + 12r = 51$

$a = 51 - 12r$

$ar = 12$ に代入して、

$(51 - 12r)r = 12$

$51r - 12r^2 = 12$

$12r^2 - 51r + 12 = 0$

$4r^2 - 17r + 4 = 0$

$(4r - 1)(r - 4) = 0$

$r = \frac{1}{4}, 4$

したがって、公比 $r$ は $\frac{1}{4}$ または $4$ である。

(1) 公比 $r = 4$ のとき

$ar = 12$ より、 $4a = 12$ となり、$a = 3$ である。

第4項は $ar^3 = 3 \cdot 4^3 = 3 \cdot 64 = 192$

しかし、問題文で公比 $r=1$のとき、第4項を求めるように指示があるので、その指示に従う。もし $r=1$ の場合、$a_2 = a \cdot r = a \cdot 1 = 12$ より $a=12$ である。

このとき、$a+ar+ar^2 = a+a+a = 3a = 3(12)=36 \ne 63$ であるため、公比が1になることはない。

しかし、指示に従って、 $r = 1$ の時の第4項を求めると、$a_4 = ar^3 = 12\cdot 1^3 = 12$ となる。

(2) 公比 $r = \frac{5}{6}$ のとき

$ar = 12$ より、$a = \frac{12}{r} = 12 \cdot \frac{6}{5} = \frac{72}{5}$

第4項は $ar^3 = \frac{72}{5} \cdot (\frac{5}{6})^3 = \frac{72}{5} \cdot \frac{125}{216} = \frac{72 \cdot 25}{216} = \frac{25}{3}$

3. 最終的な答え

公比 $r=1$のとき、第4項は $12$

公比 $r=\frac{5}{6}$ のとき、第4項は $\frac{25}{3}$