第2項が12で、初項から第3項までの和が63である等比数列 $\{a_n\}$ の第4項を、公比が1の場合と $5/6$ の場合それぞれについて求める。

1. 問題の内容

第2項が12で、初項から第3項までの和が63である等比数列 $\{a_n\}$ の第4項を、公比が1の場合と $5/6$ の場合それぞれについて求める。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項を $a_n = a r^{n-1}$ とおく。ここで、$a$は初項、$r$は公比である。

第2項が12であることから、

$a_2 = ar = 12$

初項から第3項までの和が63であることから、

$a + ar + ar^2 = 63$

(1) 公比 $r = 1$ のとき

$ar = 12$ より $a(1) = 12$ なので、$a = 12$。

第4項は $a_4 = ar^3 = 12(1)^3 = 12$。

(2) 公比 $r = \frac{5}{6}$ のとき

$ar = 12$ より、$a \cdot \frac{5}{6} = 12$ なので、$a = 12 \cdot \frac{6}{5} = \frac{72}{5}$。

第4項は $a_4 = ar^3 = \frac{72}{5} \cdot (\frac{5}{6})^3 = \frac{72}{5} \cdot \frac{125}{216} = \frac{72 \cdot 125}{5 \cdot 216} = \frac{72 \cdot 25}{216} = \frac{25}{3} = \frac{25}{3}$。

3. 最終的な答え

公比 $r = 1$ のとき、第4項は 12。

公比 $r = \frac{5}{6}$ のとき、第4項は $\frac{25}{3}$。