等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が12、初項から第3項までの和が63であるとき、第4項を求めよ。

代数学等比数列数列二次方程式
2025/7/15

1. 問題の内容

等比数列 {an}\{a_n\} において、第2項が12、初項から第3項までの和が63であるとき、第4項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の初項を aa、公比を rr とすると、第2項は ar=12ar = 12 と表せます。また、初項から第3項までの和は a+ar+ar2=63a + ar + ar^2 = 63 と表せます。
与えられた条件から以下の2つの式が得られます。
ar=12ar = 12 (1)
a+ar+ar2=63a + ar + ar^2 = 63 (2)
式(2)に式(1)を代入すると、
a+12+12r=63a + 12 + 12r = 63
a+12r=51a + 12r = 51
a=5112ra = 51 - 12r (3)
式(3)を式(1)に代入すると、
(5112r)r=12(51 - 12r)r = 12
51r12r2=1251r - 12r^2 = 12
12r251r+12=012r^2 - 51r + 12 = 0
4r217r+4=04r^2 - 17r + 4 = 0
この2次方程式を解きます。
(4r1)(r4)=0(4r - 1)(r - 4) = 0
r=14,4r = \frac{1}{4}, 4
(i) r=14r = \frac{1}{4} のとき、式(1)より a(14)=12a(\frac{1}{4}) = 12 なので、 a=48a = 48
このとき、第4項は ar3=48(14)3=48(164)=4864=34ar^3 = 48(\frac{1}{4})^3 = 48(\frac{1}{64}) = \frac{48}{64} = \frac{3}{4}
(ii) r=4r = 4 のとき、式(1)より a(4)=12a(4) = 12 なので、a=3a = 3
このとき、第4項は ar3=3(4)3=3(64)=192ar^3 = 3(4)^3 = 3(64) = 192

3. 最終的な答え

34,192\frac{3}{4}, 192

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