次の和を求めよ: $1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2n-1)(2n+1)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ:

$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2n-1)(2n+1)$

2. 解き方の手順

この数列の一般項は $a_k = (2k-1)(2k+1)$ で表されます。

したがって、求める和は

$$\sum_{k=1}^n (2k-1)(2k+1)$$

と表せます。

まず、一般項を展開します。

$$(2k-1)(2k+1) = 4k^2 - 1$$

したがって、求める和は

$$\sum_{k=1}^n (4k^2 - 1) = 4\sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n 1$$

となります。

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^n 1 = n$ であることを利用して、

$$4\sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n 1 = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n$$

$$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n}{3}$$

$$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 3)}{3} = \frac{n(2(2n^2 + 3n + 1) - 3)}{3}$$

$$= \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 3)}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$