与えられた連立一次方程式の一般解を求める問題です。 方程式は以下の通りです。 $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & a & 0 & c \\ 0 & 0 & 1 & b & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & e \end{bmatrix} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} f \\ g \\ h \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の一般解を求める問題です。

方程式は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & a & 0 & c \\ 0 & 0 & 1 & b & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & e \end{bmatrix} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} f \\ g \\ h \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{bmatrix}$とします。

与えられた連立一次方程式は、以下の３つの式で表されます。

$x_2 + ax_4 + cx_6 = f$

$x_3 + bx_4 + dx_6 = g$

$x_5 + ex_6 = h$

これらの式から、$x_2$, $x_3$, $x_5$ を $x_1$, $x_4$, $x_6$ を用いて表します。

$x_2 = f - ax_4 - cx_6$

$x_3 = g - bx_4 - dx_6$

$x_5 = h - ex_6$

$x_1$, $x_4$, $x_6$ を任意定数 $c_1$, $c_2$, $c_3$ とおきます。

$x_1 = c_1$

$x_4 = c_2$

$x_6 = c_3$

これらを代入すると、

$x_2 = f - ac_2 - cc_3$

$x_3 = g - bc_2 - dc_3$

$x_5 = h - ec_3$

したがって、一般解は次のようになります。

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} c_1 \\ f - ac_2 - cc_3 \\ g - bc_2 - dc_3 \\ c_2 \\ h - ec_3 \\ c_3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

連立一次方程式の一般解は

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ f - ac_2 - cc_3 \\ g - bc_2 - dc_3 \\ c_2 \\ h - ec_3 \\ c_3 \end{bmatrix}$

です。ここで、$c_1$, $c_2$, $c_3$ は任意の定数です。