(1) 点$(1, 2, -3)$を通り、ベクトル$\vec{a} = (3, -1, 2)$に平行な直線$l$と、点$(4, -3, 1)$を通り、ベクトル$\vec{b} = (3, 7, -2)$に平行な直線$m$の交点の座標を求めよ。 (2) 点$(6, 3, -4)$を通り、ベクトル$(-1, 1, 4)$に平行な直線$l$と、点$(2, 4, 6)$を中心とする半径3の球面との交点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点$(1, 2, -3)$を通り、ベクトル$\vec{a} = (3, -1, 2)$に平行な直線$l$と、点$(4, -3, 1)$を通り、ベクトル$\vec{b} = (3, 7, -2)$に平行な直線$m$の交点の座標を求めよ。

(2) 点$(6, 3, -4)$を通り、ベクトル$(-1, 1, 4)$に平行な直線$l$と、点$(2, 4, 6)$を中心とする半径3の球面との交点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線$l$上の点は、パラメータ$s$を用いて以下のように表せる。

$(1+3s, 2-s, -3+2s)$

直線$m$上の点は、パラメータ$t$を用いて以下のように表せる。

$(4+3t, -3+7t, 1-2t)$

交点では座標が一致するので、以下の連立方程式を解く。

$1+3s = 4+3t$

$2-s = -3+7t$

$-3+2s = 1-2t$

最初の2式から、$s$と$t$について解くと、

$3s - 3t = 3$

$-s - 7t = -5$

これより、

$s - t = 1$

$-s - 7t = -5$

これを解くと、$t = 1/2$, $s = 3/2$

3つ目の式に$s=3/2, t=1/2$を代入すると、

$-3 + 2(3/2) = -3 + 3 = 0$

$1 - 2(1/2) = 1 - 1 = 0$

となり、3つの式は整合性が取れている。

したがって交点の座標は、

$(1 + 3(3/2), 2 - (3/2), -3 + 2(3/2)) = (1 + 9/2, 4/2 - 3/2, -6/2 + 6/2) = (11/2, 1/2, 0)$

または

$(4 + 3(1/2), -3 + 7(1/2), 1 - 2(1/2)) = (8/2 + 3/2, -6/2 + 7/2, 2/2 - 2/2) = (11/2, 1/2, 0)$

(2)

直線$l$上の点は、パラメータ$t$を用いて以下のように表せる。

$(6-t, 3+t, -4+4t)$

球面の方程式は、

$(x-2)^2 + (y-4)^2 + (z-6)^2 = 3^2 = 9$

直線$l$上の点が球面上にあるとき、

$(6-t-2)^2 + (3+t-4)^2 + (-4+4t-6)^2 = 9$

$(4-t)^2 + (-1+t)^2 + (-10+4t)^2 = 9$

$16 - 8t + t^2 + 1 - 2t + t^2 + 100 - 80t + 16t^2 = 9$

$18t^2 - 90t + 117 = 0$

$6t^2 - 30t + 39 = 0$

$2t^2 - 10t + 13 = 0$

$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4*2*13}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{-4}}{4}$

$t$は実数解を持たない。

したがって、直線$l$と球面は交わらない。

3. 最終的な答え

(1) 交点の座標: $(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

(2) 交点なし