(1) 2つの平面 $x+2y-z-4=0$ と $x-y+2z-4=0$ の交線の方程式を求める。 (2) (1)で求めた交線と点 $(0, 1, 0)$ を通る平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2つの平面 $x+2y-z-4=0$ と $x-y+2z-4=0$ の交線の方程式を求める。

(2) (1)で求めた交線と点 $(0, 1, 0)$ を通る平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの平面の交線の方程式を求める。

2つの平面の方程式を連立させて解く。$z$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求め、次に $x$ を消去して $y$ と $z$ の関係式を求める。

まず、$x+2y-z-4=0$ と $x-y+2z-4=0$ の連立方程式を解く。

1つ目の式を2倍して $2x+4y-2z-8=0$ とし、2つ目の式 $x-y+2z-4=0$ と足し合わせる。

$$3x+3y-12=0$$

$$x+y-4=0$$

$$x = 4 - y$$

次に、1つ目の式に $x=4-y$ を代入する。

$$(4-y)+2y-z-4=0$$

$$y-z=0$$

$$y=z$$

したがって、$x = 4 - y = 4 - z$。

交線上の点を$(4-t, t, t)$ とすると、

$$x=4-t$$

$$y=t$$

$$z=t$$

$t$ は任意の実数。

これをベクトル形式で表すと、

$$(x, y, z) = (4, 0, 0) + t(-1, 1, 1)$$

交線の方程式は以下のように表現できる。

$$\frac{x-4}{-1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-0}{1}$$

$$4-x = y = z$$

$$x+y=4$$

$$y=z$$

(2) (1) で求めた交線と点 $(0, 1, 0)$ を通る平面の方程式を求める。

交線上の任意の点 $(4,0,0)$ を通るので、この点と $(0,1,0)$ を通る平面の式を求める。

平面の方程式を $ax+by+cz+d=0$ とする。

$(4, 0, 0)$ を通ることから、

$4a+d=0$

$(0, 1, 0)$ を通ることから、

$b+d=0$

交線 $x+y=4$ 上の任意の点$(4-t, t, t)$ を通るので、$x+y-4=0$ であり、また $z-y=0$ でもある。

平面束の式は、$k(x+y-4)+l(y-z)=0$ であり、$(0,1,0)$ を通るから、$k(0+1-4)+l(1-0)=0$ となる。

$-3k+l=0$ なので、$l=3k$。

$k(x+y-4)+3k(y-z)=0$

$x+y-4+3y-3z=0$

$x+4y-3z-4=0$

3. 最終的な答え

(1) 交線の方程式: $x+y = 4$ かつ $y=z$

(2) 平面の方程式: $x+4y-3z-4=0$