確率変数 $X$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ が $Y = 2X + 1$ で定義される。このとき、$Y$ の期待値、分散、標準偏差を求める。ただし、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は既知とする。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ が $Y = 2X + 1$ で定義される。このとき、$Y$ の期待値、分散、標準偏差を求める。ただし、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は既知とする。

2. 解き方の手順

(1) $Y$ の期待値を求める。期待値の線形性より、

$E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1$

(2) $Y$ の分散を求める。分散の性質より、定数倍の影響と平行移動の影響を考慮すると、

$V(Y) = V(2X + 1) = 2^2 V(X) = 4V(X)$

(3) $Y$ の標準偏差を求める。標準偏差は分散の平方根なので、

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{4V(X)} = 2\sqrt{V(X)}$

3. 最終的な答え

(1) $Y$ の期待値: $2E(X) + 1$

(2) $Y$ の分散: $4V(X)$

(3) $Y$ の標準偏差: $2\sqrt{V(X)}$