問題は、くじ引きに関する確率と、箱から玉を取り出す確率に関するものです。具体的には、 (1) 2回目に当たりを引く確率 $P(B)$ を求めます。 (2) 2回目に当たりを引いたという条件の下で、1回目に当たりを引いた確率 $P_B(A)$ を求めます。 (3) さいころを振って箱を選び、そこから2個の玉を取り出したとき、2個とも赤玉である確率を求めます。 (4) 2個とも赤玉を取り出したという条件の下で、箱Aから取り出した確率を求めます。

1. 問題の内容

問題は、くじ引きに関する確率と、箱から玉を取り出す確率に関するものです。具体的には、

(1) 2回目に当たりを引く確率 $P(B)$ を求めます。

(2) 2回目に当たりを引いたという条件の下で、1回目に当たりを引いた確率 $P_B(A)$ を求めます。

(3) さいころを振って箱を選び、そこから2個の玉を取り出したとき、2個とも赤玉である確率を求めます。

(4) 2個とも赤玉を取り出したという条件の下で、箱Aから取り出した確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(B)$ を求める。

2回目に当たりを引くのは、

* 1回目に当たりを引いて、2回目にも当たりを引く場合

* 1回目に外れて、2回目に当たりを引く場合

の2つの場合がある。

それぞれの場合の確率を計算し、合計する。

$P(A \cap B) = P(A) P(B|A) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$

$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) P(B|\bar{A}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{21}{90}$

$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = \frac{6}{90} + \frac{21}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$

(2) $P_B(A)$ を求める。これは条件付き確率なので、$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ で計算できる。

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{6}{90}}{\frac{27}{90}} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

(3) 2個とも赤玉である確率を求める。

* 箱Aから2個取り出す場合: 確率 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ で箱Aが選ばれる。箱Aから2個とも赤玉を取り出す確率は $\frac{{}_4C_2}{{}_5C_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

* 箱Bから2個取り出す場合: 確率 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ で箱Bが選ばれる。箱Bから2個とも赤玉を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$。

よって、求める確率は

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{15} + \frac{2}{30} = \frac{6}{30} + \frac{2}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

(4) 2個とも赤玉であったという条件の下で、箱Aから取り出した確率を求める。

$P(\text{箱A}|\text{2個とも赤}) = \frac{P(\text{箱A} \cap \text{2個とも赤})}{P(\text{2個とも赤})}$

$P(\text{箱A} \cap \text{2個とも赤}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$

$P(\text{2個とも赤}) = \frac{4}{15}$ (上記(3)の結果)

$P(\text{箱A}|\text{2個とも赤}) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{15}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $P(B) = \frac{3}{10}$

(2) $P_B(A) = \frac{2}{9}$

(3) $\frac{4}{15}$

(4) $\frac{3}{4}$