5. 確率変数 $X$ が二項分布 $B(8, \frac{1}{6})$ に従うとき、$X$ の期待値と標準偏差を求める。 6. 母平均80、母標準偏差10の母集団から、大きさ100の無作為標本を復元抽出するとき、標本平均の期待値と標準偏差を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

5. 確率変数 $X$ が二項分布 $B(8, \frac{1}{6})$ に従うとき、$X$ の期待値と標準偏差を求める。

6. 母平均80、母標準偏差10の母集団から、大きさ100の無作為標本を復元抽出するとき、標本平均の期待値と標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

5.(1) 二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値は $E(X) = np$ で与えられる。

したがって、 $X \sim B(8, \frac{1}{6})$ の期待値は

$E(X) = 8 \times \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

5.(2) 二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の分散は $V(X) = np(1-p)$ で与えられる。

標準偏差は分散の平方根である。

したがって、$X \sim B(8, \frac{1}{6})$ の分散は

$V(X) = 8 \times \frac{1}{6} \times (1 - \frac{1}{6}) = 8 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}$

標準偏差は

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$

6.(1) 母平均 $\mu$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出したとき、標本平均 $\bar{X}$ の期待値は母平均に等しい。

$E(\bar{X}) = \mu$

したがって、標本平均の期待値は $E(\bar{X}) = 80$

6.(2) 母標準偏差 $\sigma$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出したとき、標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差は $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で与えられる。

$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

したがって、標本平均の標準偏差は $\sigma(\bar{X}) = \frac{10}{\sqrt{100}} = \frac{10}{10} = 1$

3. 最終的な答え

5.(1) $X$ の期待値: $\frac{4}{3}$

5.(2) $X$ の標準偏差: $\frac{\sqrt{10}}{3}$

6.(1) 標本平均の期待値: 80

6.(2) 標本平均の標準偏差: 1