袋の中に赤球3個と白球4個が入っている。この袋に対して以下の試行を繰り返す。 (ア) まず同時に2個の球を取り出す。 (イ) その2個の球が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば、取り出した球の代わりに赤球を2個袋に入れる。 (ウ) 最後に白球1個を袋に追加してかき混ぜ、1回目の試行を終える。 $n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤球の個数を$X_n$とする。 (1) $X_1 = 4$となる確率を求めよ。 (2) $X_2 = 4$となる確率を求めよ。 (3) $X_2 = 4$であったとき、$X_1 = 4$である条件付き確率を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個と白球4個が入っている。この袋に対して以下の試行を繰り返す。

(ア) まず同時に2個の球を取り出す。

(イ) その2個の球が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば、取り出した球の代わりに赤球を2個袋に入れる。

(ウ) 最後に白球1個を袋に追加してかき混ぜ、1回目の試行を終える。

$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤球の個数を$X_n$とする。

(1) $X_1 = 4$となる確率を求めよ。

(2) $X_2 = 4$となる確率を求めよ。

(3) $X_2 = 4$であったとき、$X_1 = 4$である条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X_1 = 4$となる確率

最初に赤球3個、白球4個が入っている。合計7個。

$X_1 = 4$となるのは、1回目の試行で色違いの球を取り出した場合である。

色違いの球を取り出す確率は、

$1 - \frac{{}_3C_2 + {}_4C_2}{{}_7C_2} = 1 - \frac{3 + 6}{21} = 1 - \frac{9}{21} = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$

または、直接計算すると

$\frac{{}_3C_1 \cdot {}_4C_1}{{}_7C_2} = \frac{3 \cdot 4}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

1回目の試行後、白球1個が追加されるので、合計8個になる。

したがって、$X_1=4$となる確率は$\frac{4}{7}$である。

(2) $X_2 = 4$となる確率

$X_2 = 4$となるためには、2回目の試行が終わった時点で赤球の個数が4個になっている必要がある。

場合分けをして考える。

(i) 1回目に色違いを取り出し、$X_1 = 4$となった場合。

この時、袋の中身は赤球4個、白球4個である。

2回目に赤球2個を取り出すと$X_2 = 4$になる。

赤球2個を取り出す確率は$\frac{{}_4C_2}{{}_8C_2} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$.

したがって、この場合の確率は$\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{14} = \frac{12}{98} = \frac{6}{49}$.

(ii) 1回目に同色を取り出し、$X_1 = 3$となった場合。

この時、袋の中身は赤球3個、白球5個である。

2回目に色違いを取り出すと$X_2=4$になる。

色違いを取り出す確率は$\frac{{}_3C_1 \cdot {}_5C_1}{{}_8C_2} = \frac{3 \cdot 5}{28} = \frac{15}{28}$.

1回目に同色を取り出す確率は$\frac{{}_3C_2 + {}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{3+6}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

したがって、この場合の確率は$\frac{3}{7} \cdot \frac{15}{28} = \frac{45}{196}$.

$X_2 = 4$となる確率は$\frac{6}{49} + \frac{45}{196} = \frac{24}{196} + \frac{45}{196} = \frac{69}{196}$.

(3) $X_2=4$であったとき、$X_1 = 4$である条件つき確率

求める確率は$P(X_1=4 | X_2=4) = \frac{P(X_1=4, X_2=4)}{P(X_2=4)}$.

$P(X_1=4, X_2=4)$は1回目に色違いを取り出し、2回目に赤球2個を取り出す確率であり、(2)の(i)で求めた。$\frac{6}{49}$.

$P(X_2=4)$は(2)で求めた。$\frac{69}{196}$.

したがって、

$P(X_1=4 | X_2=4) = \frac{\frac{6}{49}}{\frac{69}{196}} = \frac{6}{49} \cdot \frac{196}{69} = \frac{6 \cdot 4}{69} = \frac{24}{69} = \frac{8}{23}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{7}$

(2) $\frac{69}{196}$

(3) $\frac{8}{23}$