問題3では、コイン2枚を同時に投げる試行を3回繰り返し、少なくとも1枚表が出た回数Xの確率分布と期待値を求めます。問題4では、1から5までの数字が書かれた5枚のカードから2枚を同時に選び、大きい方の数字をX、大きい方から小さい方を引いた数をYとしたときのXとYの期待値を求めます。

1. 問題の内容

問題3では、コイン2枚を同時に投げる試行を3回繰り返し、少なくとも1枚表が出た回数Xの確率分布と期待値を求めます。問題4では、1から5までの数字が書かれた5枚のカードから2枚を同時に選び、大きい方の数字をX、大きい方から小さい方を引いた数をYとしたときのXとYの期待値を求めます。

2. 解き方の手順

問題3：

(5) 確率変数Xの確率分布

コイン2枚を同時に投げる試行で、少なくとも1枚表が出る確率は $1 -$（2枚とも裏になる確率）$= 1 - (1/2)^2 = 3/4$ です。

Xは3回の試行で少なくとも1枚表が出た回数なので、二項分布 $B(3, 3/4)$ に従います。したがって、$X = k$ となる確率は、

$P(X=k) = \binom{3}{k} (3/4)^k (1/4)^{3-k}$ （$k=0,1,2,3$）

具体的には、

$P(X=0) = \binom{3}{0} (3/4)^0 (1/4)^3 = 1/64$

$P(X=1) = \binom{3}{1} (3/4)^1 (1/4)^2 = 9/64$

$P(X=2) = \binom{3}{2} (3/4)^2 (1/4)^1 = 27/64$

$P(X=3) = \binom{3}{3} (3/4)^3 (1/4)^0 = 27/64$

(6) Xの期待値E(X)

二項分布 $B(n, p)$ の期待値は $np$ なので、

$E(X) = 3 \times (3/4) = 9/4$

問題4：

(7) Xの期待値E(X)

1から5までの数字が書かれたカードから2枚を取り出す組み合わせは $\binom{5}{2} = 10$ 通りです。それぞれの組み合わせについて大きい方の数字をXとし、確率を考慮して期待値を計算します。

(1,2) X=2, (1,3) X=3, (1,4) X=4, (1,5) X=5

(2,3) X=3, (2,4) X=4, (2,5) X=5

(3,4) X=4, (3,5) X=5

(4,5) X=5

$E(X) = (2 + 2\times3 + 3\times4 + 4\times5) / 10 = (2 + 6 + 12 + 20) / 10 = 40/10 = 4$

(8) Yの期待値E(Y)

それぞれの組み合わせについて大きい方から小さい方を引いた数をYとし、確率を考慮して期待値を計算します。

(1,2) Y=1, (1,3) Y=2, (1,4) Y=3, (1,5) Y=4

(2,3) Y=1, (2,4) Y=2, (2,5) Y=3

(3,4) Y=1, (3,5) Y=2

(4,5) Y=1

$E(Y) = (4\times1 + 3\times2 + 2\times3 + 1\times4) / 10 = (4 + 6 + 6 + 4) / 10 = 20/10 = 2$

3. 最終的な答え

問題3：

(5) 確率分布：

$P(X=0) = 1/64$

$P(X=1) = 9/64$

$P(X=2) = 27/64$

$P(X=3) = 27/64$

(6) $E(X) = 9/4$

問題4：

(7) $E(X) = 4$

(8) $E(Y) = 2$