与えられた行列の行列式を計算し、積の形で表す問題です。ここで、$n$ は自然数であり、$x_1, x_2, ..., x_n$ は実数です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} $ この行列式を $\prod_{1 \le j < k \le n} (\text{???})$ の形で表します。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算し、積の形で表す問題です。ここで、$n$ は自然数であり、$x_1, x_2, ..., x_n$ は実数です。行列は以下の通りです。

$ \begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix} $

この行列式を $\prod_{1 \le j < k \le n} (\text{???})$ の形で表します。

2. 解き方の手順

この行列式は、ヴァンデルモンドの行列式として知られています。ヴァンデルモンドの行列式は、以下の公式で計算できます。

$ \begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix} = \prod_{1 \le j < k \le n} (x_k - x_j) $

したがって、与えられた行列式の値は、すべての $1 \le j < k \le n$ に対する $(x_k - x_j)$ の積になります。

3. 最終的な答え

$\prod_{1 \le j < k \le n} (x_k - x_j)$