実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | -3 \le x \le 5\}$, $B = \{x | |x| < 4\}$, $C = \{x | k - 7 \le x < k + 3\}$ が与えられている。 (1) 次の集合を求めよ: $\overline{B}$, $A \cup \overline{B}$, $A \cap \overline{B}$。 (2) $A \subset C$ となる $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | -3 \le x \le 5\}$, $B = \{x | |x| < 4\}$, $C = \{x | k - 7 \le x < k + 3\}$ が与えられている。

(1) 次の集合を求めよ: $\overline{B}$, $A \cup \overline{B}$, $A \cap \overline{B}$。

(2) $A \subset C$ となる $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$B = \{x | |x| < 4\}$ を不等式で表すと、$-4 < x < 4$ である。

(ア) $\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$x \le -4$ または $x \ge 4$ となる。したがって、$\overline{B} = \{x | x \le -4 \text{ または } x \ge 4\}$ である。

(イ) $A = \{x | -3 \le x \le 5\}$ であり、$\overline{B} = \{x | x \le -4 \text{ または } x \ge 4\}$ である。

$A \cup \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の和集合なので、$x \le -4$ または $-3 \le x \le 5$ または $x \ge 4$ である。

したがって、$x \le 5$ または $x \ge -3$ となるので、$A \cup \overline{B} = \{x | x \le 5 \text{ または } x \ge -4\} = \{x | x \le -4 \text{ または } x \ge -3\}$である。実数全体となる。

(ウ) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$-3 \le x \le 5$ かつ ($x \le -4$ または $x \ge 4$) である。

したがって、$4 \le x \le 5$ である。

$A \cap \overline{B} = \{x | 4 \le x \le 5 \}$

(2)

$A \subset C$ となるためには、集合 $A$ のすべての要素が集合 $C$ に含まれている必要がある。

つまり、$-3 \le x \le 5$ ならば $k - 7 \le x < k + 3$ でなければならない。

したがって、

$k - 7 \le -3$ かつ $5 < k + 3$ でなければならない。

$k - 7 \le -3$ より $k \le 4$

$5 < k + 3$ より $2 < k$

よって、$2 < k \le 4$ である。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\overline{B} = \{x | x \le -4 \text{ または } x \ge 4\}$

(イ) $A \cup \overline{B} = \{x | x \in \mathbb{R}\}$

(ウ) $A \cap \overline{B} = \{x | 4 \le x \le 5 \}$

(2) $2 < k \le 4$