与えられた行列の行列式を計算する問題です。ここで、$n$ は自然数であり、$x_1, x_2, \dots, x_n$ は実数です。行列は次の形をしています。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} $ この行列式を計算し、$\prod_{1 \le j < k \le n}$ の形で表します。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。ここで、$n$ は自然数であり、$x_1, x_2, \dots, x_n$ は実数です。行列は次の形をしています。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix}

$$

この行列式を計算し、$\prod_{1 \le j < k \le n}$ の形で表します。

2. 解き方の手順

この行列式は、ヴァンデルモンド行列式として知られています。ヴァンデルモンド行列式の一般的な公式は次のとおりです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix}

= \prod_{1 \le j < k \le n} (x_k - x_j)

$$

したがって、与えられた行列式は、$\prod_{1 \le j < k \le n} (x_k - x_j)$ に等しくなります。

3. 最終的な答え

$\prod_{1 \le j < k \le n} (x_k - x_j)$