与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 9 & 2 & 8 & 6 \\ 9^2 & 2^2 & 8^2 & 6^2 \\ 9^3 & 2^3 & 8^3 & 6^3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

9 & 2 & 8 & 6 \\

9^2 & 2^2 & 8^2 & 6^2 \\

9^3 & 2^3 & 8^3 & 6^3

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この行列式は、ヴァンデルモンド行列の一般化された形をしています。

ヴァンデルモンド行列は次の形をしています。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix}

= \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$

与えられた行列は、 $x_1 = 9, x_2 = 2, x_3 = 8, x_4 = 6$に対応します。したがって、行列式は次のようになります。

$(2-9)(8-9)(6-9)(8-2)(6-2)(6-8)$

$= (-7)(-1)(-3)(6)(4)(-2)$

$= (7)(3)(6)(4)(-2)$

$= 21 \cdot 6 \cdot (-8)$

$= 126 \cdot (-8)$

$= -1008$

3. 最終的な答え

-1008