関数 $f(x) = 2x + 3$ と $g(x) = x^2 + x + 1$ が与えられています。 (1) 合成関数 $f \circ g$ を求め、全射かどうか、単射かどうか判定します。 (2) 合成関数 $g \circ f$ を求め、全射かどうか、単射かどうか判定します。 (3) 合成関数 $f^2 = f \circ f$ を求め、全射かどうか、単射かどうか判定します。 (4) 合成関数 $g^2 = g \circ g$ を求め、全射かどうか、単射かどうか判定します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x + 3$ と $g(x) = x^2 + x + 1$ が与えられています。

(1) 合成関数 $f \circ g$ を求め、全射かどうか、単射かどうか判定します。

(2) 合成関数 $g \circ f$ を求め、全射かどうか、単射かどうか判定します。

(3) 合成関数 $f^2 = f \circ f$ を求め、全射かどうか、単射かどうか判定します。

(4) 合成関数 $g^2 = g \circ g$ を求め、全射かどうか、単射かどうか判定します。

2. 解き方の手順

(1) $f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x^2 + x + 1) = 2(x^2 + x + 1) + 3 = 2x^2 + 2x + 2 + 3 = 2x^2 + 2x + 5$

$f \circ g(x) = 2x^2 + 2x + 5$

$f \circ g$ は下に凸な放物線なので、最大値が存在しません。したがって全射ではありません。

また、$f \circ g(x)$ は $x = -1/2$ を軸とする放物線なので、$f \circ g(-1) = f \circ g(0) = 5$ となり、単射ではありません。

(2) $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + (2x + 3) + 1 = 4x^2 + 12x + 9 + 2x + 3 + 1 = 4x^2 + 14x + 13$

$g \circ f(x) = 4x^2 + 14x + 13$

$g \circ f$ は下に凸な放物線なので、最大値が存在しません。したがって全射ではありません。

$g \circ f$ は $x = -7/4$ を軸とする放物線なので、$g \circ f(-2) = g \circ f(-3/2) = 5$ となり、単射ではありません。

(3) $f \circ f(x) = f(f(x)) = f(2x + 3) = 2(2x + 3) + 3 = 4x + 6 + 3 = 4x + 9$

$f \circ f(x) = 4x + 9$

$f \circ f$ は一次関数なので全射です。

また、$f \circ f$ は一次関数なので単射です。

(4) $g \circ g(x) = g(g(x)) = g(x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)^2 + (x^2 + x + 1) + 1 = x^4 + x^2 + 1 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + x^2 + x + 1 + 1 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$

$g \circ g(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$

$x$ が十分大きいとき、$g \circ g(x)$ は正の値しかとらないので、全射ではありません。

$g \circ g(0) = 3$, $g \circ g(-1) = 3$ であるから、単射ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f \circ g(x) = 2x^2 + 2x + 5$, 全射ではない、単射ではない

(2) $g \circ f(x) = 4x^2 + 14x + 13$, 全射ではない、単射ではない

(3) $f \circ f(x) = 4x + 9$, 全射である、単射である

(4) $g \circ g(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$, 全射ではない、単射ではない