$\alpha$ の動径が第2象限、$\beta$ の動径が第1象限にあり、$\sin\alpha = \frac{2}{3}$, $\cos\beta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin(\alpha - \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第2象限、$\beta$ の動径が第1象限にあり、$\sin\alpha = \frac{2}{3}$, $\cos\beta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin(\alpha - \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ の値を求める。

$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos\alpha < 0$ である。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

よって、$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\beta$ は第1象限の角なので、$\sin\beta > 0$ である。

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

よって、$\sin\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

次に、$\sin(\alpha - \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の加法定理を用いて値を計算する。

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = (\frac{2}{3})(\frac{3}{5}) - (-\frac{\sqrt{5}}{3})(\frac{4}{5}) = \frac{6}{15} + \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{2}{5} + \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{6+4\sqrt{5}}{15}$

$\cos(\alpha + \beta) = (-\frac{\sqrt{5}}{3})(\frac{3}{5}) - (\frac{2}{3})(\frac{4}{5}) = -\frac{3\sqrt{5}}{15} - \frac{8}{15} = -\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{8}{15} = \frac{-3\sqrt{5}-8}{15} = \frac{-8-3\sqrt{5}}{15}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{6+4\sqrt{5}}{15}$

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{-8-3\sqrt{5}}{15}$