以下の4つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^{0} 2^x 3^x \, dx$ (2) $\int_{0}^{\log 2} \frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^x}{e^{2x}} \, dx$ (3) $\int_{0}^{\log 3} (e^{2x} + e^{-x})^2 \, dx$ (4) $\int_{0}^{1} (\frac{1}{e^x} + e^{2x}) (e^x + e^{3x}) \, dx$

はい、承知いたしました。与えられた積分問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^{0} 2^x 3^x \, dx$

(2) $\int_{0}^{\log 2} \frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^x}{e^{2x}} \, dx$

(3) $\int_{0}^{\log 3} (e^{2x} + e^{-x})^2 \, dx$

(4) $\int_{0}^{1} (\frac{1}{e^x} + e^{2x}) (e^x + e^{3x}) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{0} 2^x 3^x \, dx$

まず、$2^x 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$と変形します。

次に、$\int 6^x \, dx = \frac{6^x}{\log 6} + C$であることを利用します。

したがって、

$\int_{-1}^{0} 6^x \, dx = \left[ \frac{6^x}{\log 6} \right]_{-1}^{0} = \frac{6^0}{\log 6} - \frac{6^{-1}}{\log 6} = \frac{1}{\log 6} - \frac{1}{6\log 6} = \frac{5}{6\log 6}$.

(2) $\int_{0}^{\log 2} \frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^x}{e^{2x}} \, dx$

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^x}{e^{2x}} = e^{2x} + 3 - e^{-x}$

したがって、

$\int_{0}^{\log 2} (e^{2x} + 3 - e^{-x}) \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} + 3x + e^{-x} \right]_{0}^{\log 2} = (\frac{1}{2} e^{2 \log 2} + 3\log 2 + e^{-\log 2}) - (\frac{1}{2} e^{0} + 3(0) + e^{0}) = (\frac{1}{2} (2^2) + 3\log 2 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + 1) = 2 + 3\log 2 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 1 + 3\log 2$.

(3) $\int_{0}^{\log 3} (e^{2x} + e^{-x})^2 \, dx$

まず、被積分関数を展開します。

$(e^{2x} + e^{-x})^2 = e^{4x} + 2e^{2x}e^{-x} + e^{-2x} = e^{4x} + 2e^{x} + e^{-2x}$

したがって、

$\int_{0}^{\log 3} (e^{4x} + 2e^{x} + e^{-2x}) \, dx = \left[ \frac{1}{4} e^{4x} + 2e^{x} - \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{\log 3} = (\frac{1}{4} e^{4 \log 3} + 2e^{\log 3} - \frac{1}{2} e^{-2 \log 3}) - (\frac{1}{4} e^{0} + 2e^{0} - \frac{1}{2} e^{0}) = (\frac{1}{4} (3^4) + 2(3) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3^2})) - (\frac{1}{4} + 2 - \frac{1}{2}) = \frac{81}{4} + 6 - \frac{1}{18} - \frac{1}{4} - 2 + \frac{1}{2} = \frac{80}{4} + 4 - \frac{1}{18} + \frac{9}{18} = 20 + 4 + \frac{8}{18} = 24 + \frac{4}{9} = \frac{220}{9}$.

(4) $\int_{0}^{1} (\frac{1}{e^x} + e^{2x}) (e^x + e^{3x}) \, dx$

まず、被積分関数を展開します。

$(e^{-x} + e^{2x}) (e^x + e^{3x}) = e^{-x}e^x + e^{-x}e^{3x} + e^{2x}e^x + e^{2x}e^{3x} = 1 + e^{2x} + e^{3x} + e^{5x}$

したがって、

$\int_{0}^{1} (1 + e^{2x} + e^{3x} + e^{5x}) \, dx = \left[ x + \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{1}{5}e^{5x} \right]_{0}^{1} = (1 + \frac{1}{2}e^{2} + \frac{1}{3}e^{3} + \frac{1}{5}e^{5}) - (0 + \frac{1}{2}e^{0} + \frac{1}{3}e^{0} + \frac{1}{5}e^{0}) = 1 + \frac{1}{2}e^{2} + \frac{1}{3}e^{3} + \frac{1}{5}e^{5} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{9}{10} + \frac{1}{2}e^{2} + \frac{1}{3}e^{3} + \frac{1}{5}e^{5}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{6\log 6}$

(2) $1 + 3\log 2$

(3) $\frac{220}{9}$

(4) $\frac{9}{10} + \frac{1}{2}e^{2} + \frac{1}{3}e^{3} + \frac{1}{5}e^{5}$