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(1) 1番目の置換を互換の積で表し、その符号を求めます。置換は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ です。 (2) 2番目の置換を互換の積で表し、その符号を求めます。置換は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}$ です。 (3) 次の3つの行列式を計算します。 (1) $\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 6 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 99 & 100 & 101 \\ 100 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 99 \end{vmatrix}$ (3) $\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

代数学置換互換行列式行列
2025/7/16

1. 問題の内容

(1) 1番目の置換を互換の積で表し、その符号を求めます。置換は
(12345673741256)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix}
です。
(2) 2番目の置換を互換の積で表し、その符号を求めます。置換は
(123456789341986572)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}
です。
(3) 次の3つの行列式を計算します。
(1) ∣3−2−52346−16∣\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 6 \end{vmatrix}
(2) ∣991001011009910010110199∣\begin{vmatrix} 99 & 100 & 101 \\ 100 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 99 \end{vmatrix}
(3) ∣1−1−11−11−111111−11−1−11111111−1−1∣\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}

2. 解き方の手順

(1)
置換を巡回置換で表すと (1 3 4)(2 7 6 5)(1\ 3\ 4)(2\ 7\ 6\ 5) となります。
(1 3 4)=(1 4)(1 3)(1\ 3\ 4) = (1\ 4)(1\ 3)
(2 7 6 5)=(2 5)(2 6)(2 7)(2\ 7\ 6\ 5) = (2\ 5)(2\ 6)(2\ 7)
したがって、与えられた置換は互換の積 (1 4)(1 3)(2 5)(2 6)(2 7)(1\ 4)(1\ 3)(2\ 5)(2\ 6)(2\ 7) で表されます。
互換の数は5なので、置換の符号は (−1)5=−1(-1)^5 = -1 です。
(2)
置換を巡回置換で表すと (1 3)(2 4 9 7 5 8 6)(1\ 3)(2\ 4\ 9\ 7\ 5\ 8\ 6) となります。
(2 4 9 7 5 8 6)=(2 6)(2 8)(2 5)(2 7)(2 9)(2 4)(2\ 4\ 9\ 7\ 5\ 8\ 6) = (2\ 6)(2\ 8)(2\ 5)(2\ 7)(2\ 9)(2\ 4)
したがって、与えられた置換は互換の積 (1 3)(2 6)(2 8)(2 5)(2 7)(2 9)(2 4)(1\ 3)(2\ 6)(2\ 8)(2\ 5)(2\ 7)(2\ 9)(2\ 4) で表されます。
互換の数は7+1=8なので、置換の符号は (−1)8=1(-1)^8 = 1 です。
(3) (1)
∣3−2−52346−16∣=3(18+4)−(−2)(12−24)+(−5)(−2−18)=3(22)+2(−12)−5(−20)=66−24+100=142\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 6 \end{vmatrix} = 3(18+4) - (-2)(12-24) + (-5)(-2-18) = 3(22) + 2(-12) - 5(-20) = 66 - 24 + 100 = 142
(3) (2)
∣991001011009910010110199∣\begin{vmatrix} 99 & 100 & 101 \\ 100 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 99 \end{vmatrix}
1行目を-1倍して2行目に足し、1行目を-1倍して3行目に足すと
∣991001011−1−121−2∣=99(2+1)−100(−2+2)+101(1+2)=99(3)−100(0)+101(3)=297+303=600\begin{vmatrix} 99 & 100 & 101 \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 99(2+1) - 100(-2+2) + 101(1+2) = 99(3) - 100(0) + 101(3) = 297+303 = 600
(3) (3)
∣1−1−11−11−111111−11−1−11111111−1−1∣\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}
1行目を引いて2,3,5行目を更新し、1行目を足して4行目を更新すると、
∣1−1−11−1002020200000020022−20∣=1×∣02022000002022−20∣\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}
1列目で展開して
1×(−2)×∣2020202−20∣=−2×(2(0+4))=−2×8=−161 \times (-2) \times \begin{vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \times (2(0+4)) = -2 \times 8 = -16

3. 最終的な答え

(1) 互換の積：(1 4)(1 3)(2 5)(2 6)(2 7)(1\ 4)(1\ 3)(2\ 5)(2\ 6)(2\ 7)、符号：-1
(2) 互換の積：(1 3)(2 6)(2 8)(2 5)(2 7)(2 9)(2 4)(1\ 3)(2\ 6)(2\ 8)(2\ 5)(2\ 7)(2\ 9)(2\ 4)、符号：1
(3) (1) 142
(3) (2) 600
(3) (3) -16

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