与えられた関数や方程式から、指定された偏微分係数や導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) $f(x,y) = \sin y + e^x - xy^2 = 0$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める。 (2) $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ から $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ を求める。 (3) $xu - yv = 0$, $yu + xv = 1$ から $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial v}{\partial x}$ を求める。 (4) $x = e^u \cos v$, $y = e^u \sin v$, $z = uv$ から $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数や方程式から、指定された偏微分係数や導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) $f(x,y) = \sin y + e^x - xy^2 = 0$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める。

(2) $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ から $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ を求める。

(3) $xu - yv = 0$, $yu + xv = 1$ から $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial v}{\partial x}$ を求める。

(4) $x = e^u \cos v$, $y = e^u \sin v$, $z = uv$ から $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 陰関数の微分法を使用します。$f(x,y) = 0$ を $x$ で微分すると、

$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0$ となります。これから $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^x - y^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos y - 2xy$

したがって、

$e^x - y^2 + (\cos y - 2xy) \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - e^x}{\cos y - 2xy}$

(2) 陰関数の偏微分法を使用します。$f(x,y,z) = 0$ を $x$ と $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 2z - 4$

$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = 0$ より、

$\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{2x}{2z - 4} = \frac{x}{2 - z}$

$\frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ より、

$\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{2y}{2z - 4} = \frac{y}{2 - z}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{2 - z}) = \frac{(2 - z) - x (-\frac{\partial z}{\partial x})}{(2 - z)^2} = \frac{2 - z + x \frac{x}{2 - z}}{(2 - z)^2} = \frac{2 - z + \frac{x^2}{2 - z}}{(2 - z)^2} = \frac{2(2-z) + x^2}{(2-z)^3}$

$= \frac{4-2z - z^2 +x^2 }{(2-z)^3}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x}{2 - z}) = \frac{0 - x (-\frac{\partial z}{\partial y})}{(2 - z)^2} = \frac{x \frac{y}{2 - z}}{(2 - z)^2} = \frac{xy}{(2 - z)^3}$

(3) 連立方程式を $x$ で偏微分します。

$xu - yv = 0$ を $x$ で偏微分すると、$u + x \frac{\partial u}{\partial x} - y \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

$yu + xv = 1$ を $x$ で偏微分すると、$y \frac{\partial u}{\partial x} + v + x \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

整理すると、

$x \frac{\partial u}{\partial x} - y \frac{\partial v}{\partial x} = -u$

$y \frac{\partial u}{\partial x} + x \frac{\partial v}{\partial x} = -v$

これを $\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial v}{\partial x}$ について解くと、

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-ux + vy}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{-uy - vx}{x^2 + y^2}$

(4) 合成関数の微分法を使用します。

$z = uv$ なので、

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = v \frac{\partial u}{\partial x} + u \frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} = v \frac{\partial u}{\partial y} + u \frac{\partial v}{\partial y}$

$x = e^u \cos v$, $y = e^u \sin v$ より、

$\frac{\partial x}{\partial u} = e^u \cos v$, $\frac{\partial x}{\partial v} = -e^u \sin v$

$\frac{\partial y}{\partial u} = e^u \sin v$, $\frac{\partial y}{\partial v} = e^u \cos v$

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{e^u}$, $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{e^u}$

$\frac{\partial z}{\partial x}= v\frac{\partial u}{\partial x} + u\frac{\partial v}{\partial x} = v \cos v e^{-u} - u \sin v e^{-u}$

$\frac{\partial z}{\partial y}= v\frac{\partial u}{\partial y} + u\frac{\partial v}{\partial y} = v \sin v e^{-u} + u \cos v e^{-u}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - e^x}{\cos y - 2xy}$

(2) $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2 - z}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{2 - z}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{x^2 + 4 -2z -z^2 }{(2-z)^3}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{xy}{(2 - z)^3}$

(3) $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-ux + vy}{x^2 + y^2}$, $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{-uy - vx}{x^2 + y^2}$

(4) $\frac{\partial z}{\partial x} = e^{-u}(v \cos v - u \sin v)$, $\frac{\partial z}{\partial y} = e^{-u}(v \sin v + u \cos v)$