$x = \log \sqrt{u^2 + v^2}$ の微分を求める問題です。ここでは、$\log$は自然対数（底が $e$）であると仮定します。また、$u$と$v$が独立変数であるかどうかは明記されていませんが、とりあえず、$u$と$v$それぞれで偏微分を計算することにします。

1. 問題の内容

$x = \log \sqrt{u^2 + v^2}$ の微分を求める問題です。ここでは、$\log$は自然対数（底が $e$）であると仮定します。また、$u$と$v$が独立変数であるかどうかは明記されていませんが、とりあえず、$u$と$v$それぞれで偏微分を計算することにします。

2. 解き方の手順

まず、$x$を以下のように書き換えます。

$x = \log (u^2 + v^2)^{1/2} = \frac{1}{2} \log (u^2 + v^2)$

次に、$u$で偏微分します。

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot 2u = \frac{u}{u^2 + v^2}$

次に、$v$で偏微分します。

$\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot 2v = \frac{v}{u^2 + v^2}$

もし、$u$と$v$が何らかの変数$t$の関数で、$u=u(t)$、$v=v(t)$であるならば、合成関数の微分を用いて、

$\frac{dx}{dt} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial x}{\partial v}\frac{dv}{dt} = \frac{u}{u^2+v^2} \frac{du}{dt} + \frac{v}{u^2+v^2} \frac{dv}{dt}$

となります。

3. 最終的な答え

$u$に関する偏微分: $\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{u}{u^2 + v^2}$

$v$に関する偏微分: $\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{v}{u^2 + v^2}$

$t$に関する全微分（$u$と$v$が$t$の関数である場合）: $\frac{dx}{dt} = \frac{u}{u^2+v^2} \frac{du}{dt} + \frac{v}{u^2+v^2} \frac{dv}{dt}$