与えられた3つの行列式を計算する問題です。 (1) は $3 \times 3$ の行列式、(2) も $3 \times 3$ の行列式、(3) は $5 \times 5$ の行列式です。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列式を計算する問題です。

(1) は $3 \times 3$ の行列式、(2) も $3 \times 3$ の行列式、(3) は $5 \times 5$ の行列式です。

2. 解き方の手順

(1)

$3 \times 3$ の行列式

$\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 6 \end{vmatrix}$

を計算します。

サラスの公式を使うと、

$3 \cdot 3 \cdot 6 + (-2) \cdot 4 \cdot 6 + (-5) \cdot 2 \cdot (-1) - 6 \cdot 3 \cdot (-5) - (-1) \cdot 4 \cdot 3 - 6 \cdot 2 \cdot (-2) = 54 - 48 + 10 + 90 + 12 + 24 = 192$

(2)

$3 \times 3$ の行列式

$\begin{vmatrix} 99 & 100 & 101 \\ 100 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 99 \end{vmatrix}$

を計算します。

まず、1行目から2行目を引きます。

$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 100 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 99 \end{vmatrix}$

次に、1行目から3行目を引きます。

$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 100 & 99 & 100 \\ 102 & 100 & 98 \end{vmatrix}$

１列目を-1倍します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -100 & 99 & 100 \\ -101 & 101 & 99 \end{vmatrix}$

第2列から第1列を引きます。第3列から第1列を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -100 & 199 & 200 \\ -101 & 202 & 200 \end{vmatrix}$

$= 1 \cdot (199 \cdot 200 - 200 \cdot 202) = 199 \cdot 200 - 200 \cdot 202 = 200(199 - 202) = 200 \cdot (-3) = -600$

(3)

$5 \times 5$ の行列式

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

を計算します。

1列目に2列目以降を足すと

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

この時点で計算を続けるのは難しいと判断します。

与式において、２行に１行目を足し、４行から１行目を引いて、５行に１行目を足します。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{vmatrix}$

5行目で展開すると

$2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} + (-2) \cdot (-1)^{5+5} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

$= 2 \cdot 0 + (-2) \cdot (-8) = 16$

3. 最終的な答え

(1) 192

(2) -600

(3) 16