与えられた不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ (1) について、以下の問いに答えます。 (1) $x=3$ が不等式 (1) を満たすとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (2) 不等式 (1) を満たす実数 $x$ が存在するとき、$a$ の値の範囲を求めます。また、このときの不等式 (1) の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ (1) について、以下の問いに答えます。

(1) $x=3$ が不等式 (1) を満たすとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(2) 不等式 (1) を満たす実数 $x$ が存在するとき、$a$ の値の範囲を求めます。また、このときの不等式 (1) の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ を不等式 (1) に代入します。

$\frac{3+a}{2} < 3+2 < \frac{2(3)+2a+7}{3}$

$\frac{3+a}{2} < 5 < \frac{6+2a+7}{3}$

$\frac{3+a}{2} < 5 < \frac{13+2a}{3}$

2つの不等式に分解します。

$\frac{3+a}{2} < 5$ かつ $5 < \frac{13+2a}{3}$

まず、$\frac{3+a}{2} < 5$ を解きます。

$3+a < 10$

$a < 7$

次に、$5 < \frac{13+2a}{3}$ を解きます。

$15 < 13+2a$

$2 < 2a$

$1 < a$

したがって、$1 < a < 7$

(2) 不等式 (1) $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ を解きます。

まず、$\frac{x+a}{2} < x+2$ を解きます。

$x+a < 2x+4$

$a-4 < x$

次に、$x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ を解きます。

$3x+6 < 2x+2a+7$

$x < 2a+1$

したがって、$a-4 < x < 2a+1$

この不等式を満たす実数 $x$ が存在するためには、$a-4 < 2a+1$ である必要があります。

$-5 < a$

$a > -5$

解は $a-4 < x < 2a+1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $1 < a < 7$

(2) $a > -5$ のとき、$a-4 < x < 2a+1$