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問題は、二つの行列式がそれぞれ与えられた式と等しくなることを証明することです。 (1) は、ヴァンデルモンド行列式を示しています。 (2) は、いくつかの要素が同じ値を持つ行列式の計算です。

代数学行列式ヴァンデルモンド行列式行列式の計算
2025/7/16

1. 問題の内容

問題は、二つの行列式がそれぞれ与えられた式と等しくなることを証明することです。
(1) は、ヴァンデルモンド行列式を示しています。
(2) は、いくつかの要素が同じ値を持つ行列式の計算です。

2. 解き方の手順

(1)
行列式の性質を利用して、計算を簡単にするために、行の引き算を行います。具体的には、2列目から1列目を引き、3列目から1列目を引きます。
∣111x1x2x3x12x22x32∣=∣100x1x2−x1x3−x1x12x22−x12x32−x12∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ x_1^2 & x_2^2-x_1^2 & x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix}
1行目で展開すると、
∣x2−x1x3−x1x22−x12x32−x12∣ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ x_2^2-x_1^2 & x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix}
=(x2−x1)(x32−x12)−(x3−x1)(x22−x12) = (x_2-x_1)(x_3^2-x_1^2)-(x_3-x_1)(x_2^2-x_1^2)
=(x2−x1)(x3−x1)(x3+x1)−(x3−x1)(x2−x1)(x2+x1) = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3+x_1) - (x_3-x_1)(x_2-x_1)(x_2+x_1)
=(x2−x1)(x3−x1)[(x3+x1)−(x2+x1)] = (x_2-x_1)(x_3-x_1)[(x_3+x_1) - (x_2+x_1)]
=(x2−x1)(x3−x1)(x3−x2) = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)
これで与えられた式と等しくなることが示されました。
(2)
同様に、行の引き算を行います。2列目から1列目を引き、3列目から1列目を引き、4列目から1列目を引きます。
∣1111xaaaxybbxyzc∣=∣1000xa−xa−xa−xxy−xb−xb−xxy−xz−xc−x∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & a & a & a \\ x & y & b & b \\ x & y & z & c \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & a-x & a-x & a-x \\ x & y-x & b-x & b-x \\ x & y-x & z-x & c-x \end{vmatrix}
1行目で展開すると、
∣a−xa−xa−xy−xb−xb−xy−xz−xc−x∣ \begin{vmatrix} a-x & a-x & a-x \\ y-x & b-x & b-x \\ y-x & z-x & c-x \end{vmatrix}
次に、3列目から2列目を引きます。
∣a−xa−x0y−xb−x0y−xz−xc−z∣=(c−z)∣a−xa−xy−xb−x∣ \begin{vmatrix} a-x & a-x & 0 \\ y-x & b-x & 0 \\ y-x & z-x & c-z \end{vmatrix} = (c-z) \begin{vmatrix} a-x & a-x \\ y-x & b-x \end{vmatrix}
=(c−z)[(a−x)(b−x)−(a−x)(y−x)] = (c-z)[(a-x)(b-x)-(a-x)(y-x)]
=(c−z)(a−x)[(b−x)−(y−x)] = (c-z)(a-x)[(b-x)-(y-x)]
=(c−z)(a−x)(b−y)=−(x−a)(y−b)(z−c) = (c-z)(a-x)(b-y) = -(x-a)(y-b)(z-c)
これで与えられた式と等しくなることが示されました。

3. 最終的な答え

(1)
∣111x1x2x3x12x22x32∣=(x2−x1)(x3−x1)(x3−x2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{vmatrix} = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)
(2)
∣1111xaaaxybbxyzc∣=−(x−a)(y−b)(z−c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & a & a & a \\ x & y & b & b \\ x & y & z & c \end{vmatrix} = -(x-a)(y-b)(z-c)

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