四角形ABCDを対角線ACで折り曲げ、点Bが移った点をEとする。このとき、4点A, C, D, Eが同一円周上にあることを証明する。

1. 問題の内容

四角形ABCDを対角線ACで折り曲げ、点Bが移った点をEとする。このとき、4点A, C, D, Eが同一円周上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 折り曲げた操作により、四角形ABCEは線対称な図形である。したがって、以下の関係が成り立つ。

$AB = AE$

$BC = CE$

$\angle BAC = \angle EAC$

$\angle BCA = \angle ECA$

(2) 四角形ABCDは平行四辺形であるため、以下の関係が成り立つ。

$AB = CD$

$BC = AD$

$\angle ABC = \angle ADC$

$\angle BCD = \angle BAD$

(3) (1)と(2)より、

$AE = CD$

$CE = AD$

(4) 四角形AECDにおいて、対角の和が180度であることを示すことができれば、四角形AECDは円に内接し、4点A, C, D, Eは同一円周上にあることが証明できる。

$\angle AEC = \angle ABC$ (折り曲げによる)

$\angle ADC = \angle ABC$ (平行四辺形の対角)

よって、

$\angle AEC = \angle ADC$

また、

$\angle EAD = \angle EAB + \angle BAD$

$\angle BCE = \angle BCA + \angle ACE$

$\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ$ (平行四辺形の隣り合う角)

$\angle EAC + \angle DAC = \angle DAC + \angle BAC$

したがって、$\angle EAD + \angle ECD = 180^\circ$ であることを示す。

$\angle AEC + \angle ADC = \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

ここで、四角形AECDを考えると、

$\angle AEC + \angle CDA = \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$.

したがって、$\angle EAD + \angle ECD=180^\circ$.

ゆえに四角形AECDは円に内接し、四点A, C, D, Eは同一円周上にある。

3. 最終的な答え

四角形AECDは円に内接し、4点A, C, D, Eは同一円周上にある。