「$a \neq 1$ または $b \neq 3$ ならば、$4a - b \neq 1$ または $2a + b \neq 5$ である」ことを証明するために、対偶を利用した証明の穴埋め問題です。

1. 問題の内容

「$a \neq 1$ または $b \neq 3$ ならば、$4a - b \neq 1$ または $2a + b \neq 5$ である」ことを証明するために、対偶を利用した証明の穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

1. まず、与えられた命題の対偶を考えます。元の命題が「P ならば Q」という形の場合、その対偶は「Q でないならば P でない」という形になります。この問題では、P が「$a \neq 1$ または $b \neq 3$」、Q が「$4a - b \neq 1$ または $2a + b \neq 5$」なので、Q でないは「$4a - b = 1$ かつ $2a + b = 5$」、P でないは「$a = 1$ かつ $b = 3$」となります。

2. 対偶「$4a - b = 1$ かつ $2a + b = 5$ ならば、$a = 1$ かつ $b = 3$」を証明するために、$4a-b=1$ と $2a+b=5$ の連立方程式を解きます。

3. 連立方程式

$4a - b = 1$

$2a + b = 5$

を解く。

二つの式を足すと、

$6a = 6$

$a = 1$

$a = 1$を2番目の式に代入すると、

$2(1) + b = 5$

$2 + b = 5$

$b = 3$

4. よって、$4a - b = 1$ かつ $2a + b = 5$ のとき、$a = 1$ かつ $b = 3$ であることが示されました。これは対偶が真であることを意味します。

5. 対偶が真であることから、元の命題も真であることが言えます。

3. 最終的な答え

31：真

32：真