行列 $P$ と $Q$ が与えられたとき、以下の行列式の値を求める問題です。 (1) $|P|$ (2) $|Q|$ (3) $|2P|$ (4) $|{}^tPQPQ({}^tP)^{-1}|$ 行列 $P$ と $Q$ は以下の通りです。 $P = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $Q = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $P$ と $Q$ が与えられたとき、以下の行列式の値を求める問題です。

(1) $|P|$

(2) $|Q|$

(3) $|2P|$

(4) $|{}^tPQPQ({}^tP)^{-1}|$

行列 $P$ と $Q$ は以下の通りです。

$P = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$Q = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $|P|$ を計算します。

$|P| = -4(1 \cdot 2 - 3 \cdot 0) - 0 + 1(5 \cdot 0 - 1 \cdot (-3)) = -4(2) + 3 = -8 + 3 = -5$

(2) $|Q|$ を計算します。

$|Q| = 7(2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) - 2(-2 \cdot 0 - 3 \cdot (-3)) + 0 = 7(3) - 2(9) = 21 - 18 = 3$

(3) $|2P|$ を計算します。

$|2P| = 2^3 |P| = 8 |P| = 8(-5) = -40$

（$n$次正方行列 $A$ に対して $|kA| = k^n |A|$ が成り立ちます。）

(4) $|{}^tPQPQ({}^tP)^{-1}|$ を計算します。

行列式の性質 $|AB| = |A||B|$ と $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ を利用します。

また、転置行列の行列式は元の行列の行列式と等しい、つまり $|{}^tP| = |P|$ です。

$|{}^tPQPQ({}^tP)^{-1}| = |{}^tP| |Q| |P| |Q| |({}^tP)^{-1}| = |P| |Q| |P| |Q| \frac{1}{|{}^tP|} = |P| |Q| |P| |Q| \frac{1}{|P|} = |Q|^2 |P| = 3^2 (-5) = 9(-5) = -45$

3. 最終的な答え

(1) $|P| = -5$

(2) $|Q| = 3$

(3) $|2P| = -40$

(4) $|{}^tPQPQ({}^tP)^{-1}| = -45$