座標平面上に原点を中心とする半径1の円 $x^2 + y^2 = 1$ があり、二次関数 $y = \sqrt{2}x^2$ と2点A, Bで交わっている。ただし、点Aのx座標は点Bのx座標よりも小さいものとする。 (1) 2点A, Bの座標を求める。 (2) 連立方程式 \begin{align*} y &= \sqrt{2}x^2 \\ y &= ax + b \end{align*} を解く。ただし、$a \neq 0, b \neq 0, x, y$ は実数とする。 (3) $x, y, a, b$ が $x^2 + y^2 = 1, y = \sqrt{2}x^2, y = ax + b$ を満たすとき、 $\frac{1}{2}(\frac{b}{a} + \frac{a + \sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}})(\frac{a^2 + a\sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}} + b)$ の最大値を求める。ただし、$0 < a \le \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ とする。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

座標平面上に原点を中心とする半径1の円 $x^2 + y^2 = 1$ があり、二次関数 $y = \sqrt{2}x^2$ と2点A, Bで交わっている。ただし、点Aのx座標は点Bのx座標よりも小さいものとする。

(1) 2点A, Bの座標を求める。

(2) 連立方程式

\begin{align*}

y &= \sqrt{2}x^2 \\

y &= ax + b

\end{align*}

を解く。ただし、$a \neq 0, b \neq 0, x, y$ は実数とする。

(3) $x, y, a, b$ が $x^2 + y^2 = 1, y = \sqrt{2}x^2, y = ax + b$ を満たすとき、

$\frac{1}{2}(\frac{b}{a} + \frac{a + \sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}})(\frac{a^2 + a\sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}} + b)$

の最大値を求める。ただし、$0 < a \le \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と二次関数 $y = \sqrt{2}x^2$ の交点を求める。$y = \sqrt{2}x^2$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、$x^2 + (\sqrt{2}x^2)^2 = 1$ より、$x^2 + 2x^4 = 1$。これを整理して、$2x^4 + x^2 - 1 = 0$。ここで、$X = x^2$ とおくと、$2X^2 + X - 1 = 0$ となり、$(2X - 1)(X + 1) = 0$。よって、$X = \frac{1}{2}, -1$。$x^2 \ge 0$ より、$x^2 = \frac{1}{2}$。したがって、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = \sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

よって、交点は$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ と $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{2})$。

Aのx座標がBのx座標より小さいので、$A(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{2}), B(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{2})$。

(2) 連立方程式

\begin{align*}

y &= \sqrt{2}x^2 \\

y &= ax + b

\end{align*}

を解く。$\sqrt{2}x^2 = ax + b$ より、$\sqrt{2}x^2 - ax - b = 0$。

解の公式より、$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4\sqrt{2}(-b)}}{2\sqrt{2}} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}}$。

$y = ax + b$ より、$y = a(\frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}}) + b = \frac{a^2 \pm a\sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}} + b$。

(3) $x, y, a, b$ が $x^2 + y^2 = 1, y = \sqrt{2}x^2, y = ax + b$ を満たすとき、

$\frac{1}{2}(\frac{b}{a} + \frac{a + \sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}})(\frac{a^2 + a\sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}} + b)$

の最大値を求める。

3. 最終的な答え

(1) $A(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{2}), B(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

(2)

\begin{align*}

x &= \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}} \\

y &= \frac{a^2 \pm a\sqrt{a^2 + 4\sqrt{2}b}}{2\sqrt{2}} + b

\end{align*}

(3) 最大値：計算中です。