$a > 0$, $b > 0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x > 0$ の部分に点 $P$ をとる。点 $P(p, q)$ における接線と漸近線との 2 交点を、$y$ 座標の大きい方から順に $A$, $B$ とするとき、次の問いに答えよ。 (1) $A$, $B$ の座標を $a, b, p, q$ で表せ。 (2) $\triangle OAB$ の面積が点 $P$ の位置によらず一定であることを示せ。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x > 0$ の部分に点 $P$ をとる。点 $P(p, q)$ における接線と漸近線との 2 交点を、$y$ 座標の大きい方から順に $A$, $B$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $A$, $B$ の座標を $a, b, p, q$ で表せ。

(2) $\triangle OAB$ の面積が点 $P$ の位置によらず一定であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P(p, q)$ における接線の方程式は $\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$ である。

漸近線は $y = \frac{b}{a}x$ と $y = -\frac{b}{a}x$ である。

接線と漸近線 $y = \frac{b}{a}x$ の交点を求める。

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2} \cdot \frac{b}{a}x = 1$

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{ab}x = 1$

$\frac{pbx - aqa}{a^2b}x = 1$

$(pb - qa)x = a^2b$

$x = \frac{a^2b}{pb - qa}$

$y = \frac{b}{a}x = \frac{b}{a} \cdot \frac{a^2b}{pb - qa} = \frac{ab^2}{pb - qa}$

接線と漸近線 $y = -\frac{b}{a}x$ の交点を求める。

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2} \cdot (-\frac{b}{a}x) = 1$

$\frac{px}{a^2} + \frac{q}{ab}x = 1$

$\frac{pbx + aqa}{a^2b}x = 1$

$(pb + qa)x = a^2b$

$x = \frac{a^2b}{pb + qa}$

$y = -\frac{b}{a}x = -\frac{b}{a} \cdot \frac{a^2b}{pb + qa} = -\frac{ab^2}{pb + qa}$

点 $P(p, q)$ は双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上にあるので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ つまり $b^2p^2 - a^2q^2 = a^2b^2$。

したがって、$b^2p^2 - a^2q^2 > 0$。つまり、$bp > aq$ であり、$pb - qa > 0$。また、$pb + qa > 0$ である。

$y$ 座標の大きいほうから順に $A$, $B$ とするので、

$A = \left(\frac{a^2b}{pb - qa}, \frac{ab^2}{pb - qa}\right)$

$B = \left(\frac{a^2b}{pb + qa}, -\frac{ab^2}{pb + qa}\right)$

(2) $\triangle OAB$ の面積を求める。

$\triangle OAB = \frac{1}{2} \left| \frac{a^2b}{pb - qa} \left(-\frac{ab^2}{pb + qa}\right) - \frac{a^2b}{pb + qa} \left(\frac{ab^2}{pb - qa}\right) \right|$

$= \frac{1}{2} \left| -\frac{a^3b^3}{(pb - qa)(pb + qa)} - \frac{a^3b^3}{(pb - qa)(pb + qa)} \right|$

$= \frac{1}{2} \left| -\frac{2a^3b^3}{p^2b^2 - q^2a^2} \right|$

$= \frac{a^3b^3}{p^2b^2 - q^2a^2}$

$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ より、 $p^2b^2 - q^2a^2 = a^2b^2$。

$\triangle OAB = \frac{a^3b^3}{a^2b^2} = ab$

したがって、$\triangle OAB$ の面積は $ab$ であり、点 $P$ の位置によらず一定である。

3. 最終的な答え

(1)

$A = \left(\frac{a^2b}{pb - qa}, \frac{ab^2}{pb - qa}\right)$

$B = \left(\frac{a^2b}{pb + qa}, -\frac{ab^2}{pb + qa}\right)$

(2)

$\triangle OAB = ab$