2次関数 $y = x^2 + 2x - 8$ のグラフをCとする。Cとx軸の交点をA, Bとする。線分AB上に点Pをとり、∠APQ=90°となる点QをC上にとる。点Pの座標を $(t, 0)$ とするとき、APとPQの長さの和 $l$ を $t$ で表し、$l$ が最大となる時の $t$ の値と、そのときの最大値を求める問題。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x - 8$ のグラフをCとする。Cとx軸の交点をA, Bとする。線分AB上に点Pをとり、∠APQ=90°となる点QをC上にとる。点Pの座標を $(t, 0)$ とするとき、APとPQの長さの和 $l$ を $t$ で表し、$l$ が最大となる時の $t$ の値と、そのときの最大値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、A, Bの座標を求める。$y=0$ とおいて、$x^2 + 2x - 8 = 0$ を解く。

$(x+4)(x-2) = 0$

$x = -4, 2$

したがって、Aの座標は $(-4, 0)$、Bの座標は $(2, 0)$ である。

次に、APの長さを求める。Pの座標は $(t, 0)$ なので、$AP = |t - (-4)| = |t+4|$ となる。点Pは線分AB上にあるので、$-4 \le t \le 2$ であり、$t+4 \ge 0$ となるから、$AP = t + 4$ である。

次に、PQの長さを求める。∠APQ=90°であり、点QはC上にあるので、点Qのx座標は $t$ である。したがって、点Qの座標は $(t, t^2 + 2t - 8)$ となる。よって、$PQ = |t^2 + 2t - 8|$ である。点QはC上にあるので、$t^2 + 2t - 8 \le 0$ であるから、$PQ = -(t^2 + 2t - 8) = -t^2 - 2t + 8$ となる。

$l = AP + PQ = (t + 4) + (-t^2 - 2t + 8) = -t^2 - t + 12$ となる。

$l$ が最大になる $t$ の値を求める。

$l = -(t^2 + t) + 12 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 12 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{49}{4}$

$l$ は、$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{49}{4}$ をとる。

この$t = -\frac{1}{2}$ は $-4 \le t \le 2$ を満たしている。

3. 最終的な答え

Aの座標は $(-4, 0)$、Bの座標は $(2, 0)$ である。

$l = -t^2 - t + 12$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{49}{4}$ をとる。