与えられた条件のもとで、関数に含まれる定数 $a$ と $b$ の値を求めます。問題は3つあります。 (1) 関数 $y = -2x + a$ ($0 \le x \le b$) の値域が $3 \le y \le 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。 (2) 関数 $y = ax + b$ ($0 \le x \le 2$) の値域が $-3 \le y \le 3$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。 (3) 関数 $y = ax + b$ ($2 < x \le 4$) の値域が $1 \le y < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件のもとで、関数に含まれる定数 $a$ と $b$ の値を求めます。問題は3つあります。

(1) 関数 $y = -2x + a$ ($0 \le x \le b$) の値域が $3 \le y \le 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(2) 関数 $y = ax + b$ ($0 \le x \le 2$) の値域が $-3 \le y \le 3$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(3) 関数 $y = ax + b$ ($2 < x \le 4$) の値域が $1 \le y < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = -2x + a$ は減少関数である。

$x = 0$ のとき、$y = a = 5$

$x = b$ のとき、$y = -2b + a = 3$

したがって、$a = 5$ を $-2b + a = 3$ に代入すると、

$-2b + 5 = 3$

$-2b = -2$

$b = 1$

(2)

場合分けをする。

(i) $a > 0$ のとき

$x = 0$ のとき $y = b = -3$

$x = 2$ のとき $y = 2a + b = 3$

$2a - 3 = 3$

$2a = 6$

$a = 3$

したがって、$a = 3$, $b = -3$

(ii) $a < 0$ のとき

$x = 0$ のとき $y = b = 3$

$x = 2$ のとき $y = 2a + b = -3$

$2a + 3 = -3$

$2a = -6$

$a = -3$

したがって、$a = -3$, $b = 3$

(iii) $a = 0$ のとき

$y = b$ より、 $-3 \le b \le 3$ となるが、$y$ の値域が $-3 \le y \le 3$ となる条件を満たさないので、$a = 0$ は不適。

(3)

場合分けをする。

(i) $a > 0$ のとき

$x = 2$ のとき $y = 2a + b = 1$

$x = 4$ のとき $y = 4a + b = 5$

$4a + b - (2a + b) = 5 - 1$

$2a = 4$

$a = 2$

$2(2) + b = 1$

$4 + b = 1$

$b = -3$

したがって、$a = 2$, $b = -3$

(ii) $a < 0$ のとき

$x = 2$ のとき $y = 2a + b = 5$

$x = 4$ のとき $y = 4a + b = 1$

$4a + b - (2a + b) = 1 - 5$

$2a = -4$

$a = -2$

$2(-2) + b = 5$

$-4 + b = 5$

$b = 9$

したがって、$a = -2$, $b = 9$

(iii) $a = 0$ のとき

$y = b$ より、$1 \le b < 5$ となるが、$y$ の値域が $1 \le y < 5$ となる条件を満たさないので、$a = 0$ は不適。

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$, $b = 1$

(2) $a = 3$, $b = -3$ または $a = -3$, $b = 3$

(3) $a = 2$, $b = -3$ または $a = -2$, $b = 9$