座標空間内に4点 O(0, 0, 0), A(4, a, b), B(2, 3, 2), C(0, 5, 1) がある。これらの点が同一平面上にあり、かつ $\angle AOB = 90^\circ$ であるとき、実数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

座標空間内に4点 O(0, 0, 0), A(4, a, b), B(2, 3, 2), C(0, 5, 1) がある。これらの点が同一平面上にあり、かつ $\angle AOB = 90^\circ$ であるとき、実数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\angle AOB = 90^\circ$ の条件から、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ である。

$\overrightarrow{OA} = (4, a, b)$

$\overrightarrow{OB} = (2, 3, 2)$

よって、

$4 \cdot 2 + a \cdot 3 + b \cdot 2 = 0$

$8 + 3a + 2b = 0$

$3a + 2b = -8$ …(1)

(2) 4点 O, A, B, C が同一平面上にある条件から、$\overrightarrow{OC}$ が $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の線形結合で表せる。つまり、実数 $s, t$ を用いて、

$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$

$(0, 5, 1) = s(4, a, b) + t(2, 3, 2)$

$(0, 5, 1) = (4s + 2t, as + 3t, bs + 2t)$

これから、次の3つの式が得られる。

$4s + 2t = 0$ …(2)

$as + 3t = 5$ …(3)

$bs + 2t = 1$ …(4)

(3) (2)式より、$2s + t = 0$ なので、$t = -2s$

これを(3)(4)式に代入する。

$as - 6s = 5$ …(5)

$bs - 4s = 1$ …(6)

(5)式より、$(a - 6)s = 5$

(6)式より、$(b - 4)s = 1$

$s \neq 0$ なので、$s = \frac{5}{a - 6}$ かつ $s = \frac{1}{b - 4}$

したがって、$\frac{5}{a - 6} = \frac{1}{b - 4}$

$5(b - 4) = a - 6$

$5b - 20 = a - 6$

$a = 5b - 14$ …(7)

(4) (1)式に(7)式を代入する。

$3(5b - 14) + 2b = -8$

$15b - 42 + 2b = -8$

$17b = 34$

$b = 2$

(5) $b = 2$ を(7)式に代入する。

$a = 5(2) - 14 = 10 - 14 = -4$

3. 最終的な答え

$a = -4, b = 2$