ある地区の運動会で綱引きが行われることになった。1チームの人数は大人と子供合わせて15人である。以下の条件を満たす大人と子供の人数の組み合わせは何通りあるか求める。 ア：大人の人数は子供の人数の1.5倍以下にする。 イ：子供の人数は大人の人数の2倍以下にする。

1. 問題の内容

ある地区の運動会で綱引きが行われることになった。1チームの人数は大人と子供合わせて15人である。以下の条件を満たす大人と子供の人数の組み合わせは何通りあるか求める。

ア：大人の人数は子供の人数の1.5倍以下にする。

イ：子供の人数は大人の人数の2倍以下にする。

2. 解き方の手順

まず、大人の人数を $x$ 人、子供の人数を $y$ 人とする。

合計人数が15人であることから、以下の式が成り立つ。

$x + y = 15$

条件アより、$x \le 1.5y$

条件イより、$y \le 2x$

$x$ と $y$ は人数なので、正の整数である。

$x + y = 15$ を満たす整数の組み合わせを全て考える。

また、$y = 15 - x$ を条件アとイに代入し、条件を満たすかどうかを調べる。

$x \le 1.5(15-x)$

$x \le 22.5 - 1.5x$

$2.5x \le 22.5$

$x \le 9$

$15 - x \le 2x$

$15 \le 3x$

$5 \le x$

$x \ge 5$

$x$ は5以上9以下の整数である必要がある。

$x=5, y=10$

$x=6, y=9$

$x=7, y=8$

$x=8, y=7$

$x=9, y=6$

上記の組み合わせが全て条件を満たしていることを確認する。

$x=5, y=10$: $5 \le 1.5 \cdot 10 = 15$, $10 \le 2 \cdot 5 = 10$ (OK)

$x=6, y=9$: $6 \le 1.5 \cdot 9 = 13.5$, $9 \le 2 \cdot 6 = 12$ (OK)

$x=7, y=8$: $7 \le 1.5 \cdot 8 = 12$, $8 \le 2 \cdot 7 = 14$ (OK)

$x=8, y=7$: $8 \le 1.5 \cdot 7 = 10.5$, $7 \le 2 \cdot 8 = 16$ (OK)

$x=9, y=6$: $9 \le 1.5 \cdot 6 = 9$, $6 \le 2 \cdot 9 = 18$ (OK)

3. 最終的な答え

5通り