10人が2つの組に分かれる方法について、以下の手順で場合の数を求める。 (1) 10人が部屋A, Bのどちらかに入る方法を考える。 (2) AまたはBの部屋が0人になる場合を除外する。 (3) 部屋A, Bの区別をなくした場合の数を求める。

1. 問題の内容

10人が2つの組に分かれる方法について、以下の手順で場合の数を求める。

(1) 10人が部屋A, Bのどちらかに入る方法を考える。

(2) AまたはBの部屋が0人になる場合を除外する。

(3) 部屋A, Bの区別をなくした場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 10人はそれぞれ部屋A, Bのどちらかに入るので、1人あたり2通りの選択肢がある。したがって、10人がA, Bの部屋に入る方法は $2^{10}$ 通りである。

(2) A, Bのどちらかの部屋が0人になる場合を考える。全員がAに入る場合と全員がBに入る場合の2通りを除外する必要がある。したがって、条件を満たす分け方は $2^{10} - 2$ 通りとなる。

(3) 部屋A, Bの区別をなくすことを考える。AとBの部屋の人数が異なる場合、AとBを入れ替えることで同じ分け方が2通りずつカウントされている。しかし、片方の部屋が空になる場合は除外されているので、AとBの部屋の人数が異なる場合のみを考える。

$2^{10} - 2$ 通りの分け方では、AとBを入れ替えることで重複して数えている組み合わせがある。例えば、Aに3人、Bに7人が入る分け方と、Aに7人、Bに3人が入る分け方は、区別をなくすと同一の分け方とみなせる。したがって、$2^{10} - 2$ 通りの分け方を2で割れば、区別をなくした場合の分け方が求まる。

①: 10人は部屋A, Bのどちらに入るかの2通りずつから選べるので、答えは2

②: 10人がA, Bの2部屋に入る方法は、$2^{10} = 1024$ 通り

③: A, Bのどちらかの部屋が0人になる場合は除かなければならない。$2^{10} - 2 = 1024 - 2 = 1022$ 通り

④: 部屋A, Bの区別をなくすと、$\frac{2^{10} - 2}{2} = \frac{1022}{2} = 511$ 通り

3. 最終的な答え

① 2

② 1024

③ 1022

④ 511