放物線 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ と $x$ 軸が、以下のそれぞれの場合において異なる2点で交わるときの、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (1) $x > 0$ (2) $x < 0$ (3) $x \le 2$ (4) $x < 1$となる点と、$x > 1$ となる点で交わる

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ と $x$ 軸が、以下のそれぞれの場合において異なる2点で交わるときの、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(1) $x > 0$

(2) $x < 0$

(3) $x \le 2$

(4) $x < 1$となる点と、$x > 1$ となる点で交わる

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ と $x$ 軸が異なる2点で交わる条件を求める。

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ が必要となる。

$D = (2m)^2 - 4(1)(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12 = 4(m^2 - 2m - 3) = 4(m - 3)(m + 1)$

$D > 0$ より、

$4(m - 3)(m + 1) > 0$

$(m - 3)(m + 1) > 0$

したがって、$m < -1$ または $m > 3$

(1) $x > 0$ で2点で交わる場合

$f(x) = x^2 + 2mx + 2m + 3$ とおく。

$D > 0$ はすでに考慮されている。

$f(0) > 0$ かつ 軸 $> 0$ が条件となる。

$f(0) = 2m + 3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$

軸は $x = -m$ なので、 $-m > 0$ より、$m < 0$

したがって、$-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) $x < 0$ で2点で交わる場合

$f(x) = x^2 + 2mx + 2m + 3$ とおく。

$D > 0$ はすでに考慮されている。

$f(0) > 0$ かつ 軸 $< 0$ が条件となる。

$f(0) = 2m + 3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$

軸は $x = -m$ なので、 $-m < 0$ より、$m > 0$

したがって、$m > 3$

(3) $x \le 2$ で2点で交わる場合

$f(x) = x^2 + 2mx + 2m + 3$ とおく。

$D > 0$ はすでに考慮されている。

$f(2) \le 0$ が条件となる。

$f(2) = 2^2 + 2m(2) + 2m + 3 = 4 + 4m + 2m + 3 = 6m + 7 \le 0$

$6m \le -7$

$m \le -\frac{7}{6}$

これと $m < -1$ または $m > 3$ より、$m \le -\frac{7}{6}$

(4) $x < 1$ と $x > 1$ で1点ずつ交わる場合

$f(x) = x^2 + 2mx + 2m + 3$ とおく。

これは、$f(1) < 0$ となる場合である。

$f(1) = 1^2 + 2m(1) + 2m + 3 = 1 + 2m + 2m + 3 = 4m + 4 < 0$

$4m < -4$

$m < -1$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) $m > 3$

(3) $m \le -\frac{7}{6}$

(4) $m < -1$