$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ において $23 \div 663$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ において $23 \div 663$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ における $23 \div 663$ は、 $23 \cdot 663^{-1}$ を意味する。

ここで $663^{-1}$ は、 $663x \equiv 1 \pmod{n}$ を満たす $x$ を指す。

まず、 $663$ が $n$ と互いに素でない場合、逆元は存在しない。逆元が存在する場合、拡張ユークリッド互除法を用いて $x$ を求めることができる。しかし、問題文に$n$が指定されていないため、$n$の場合分けによって計算方法が異なる。

もし $n=10$ と仮定した場合:

$663 \equiv 3 \pmod{10}$ であるから、$23 \div 663 \equiv 23 \div 3 \pmod{10}$ となる。

$23 \equiv 3 \pmod{10}$ であるから、$3 \div 3 \equiv 1 \pmod{10}$ となる。

$663$が$23$の倍数であることに着目すると、$663 = 23 \times 29$である。

$23 \div 663 = 23 \div (23 \cdot 29)$

$= 23 \cdot (23 \cdot 29)^{-1}$

$= 23 \cdot (23^{-1} \cdot 29^{-1})$

$= 23 \cdot 23^{-1} \cdot 29^{-1}$

$= 1 \cdot 29^{-1}$

$= 29^{-1}$

もし $n=30$ と仮定した場合:

$663 \equiv 3 \pmod{30}$ であるから、$23 \div 663 \equiv 23 \div 3 \pmod{30}$ となる。

$23 \cdot x \equiv 1 \pmod{30}$ を満たす $x$ は存在しない。なぜなら$23$と$30$は互いに素なので、ユークリッドの互除法で$1$が作れる必要がある。

$23 x + 30y = 1$となる$x,y$が存在しなければならない。

もし $n=662$の場合を考える。

$663 \equiv 1 \pmod{662}$。 よって、$23 \div 663 \equiv 23 \div 1 \pmod{662} \equiv 23 \pmod{662}$

仮に $\mathbb{Z}/663\mathbb{Z}$ を考える。

$23 \div 663 \equiv 23 \times 663^{-1} \pmod{663}$ となる。

しかし、$663 \equiv 0 \pmod{663}$ であるから、$663^{-1}$ は存在しない。

すると $23/663$ も定義できない。

一般的に $n$ が与えられていないので、これ以上の計算は難しい。

しかし、問題文の意図としては、おそらく $663 = 23 \times 29$ に着目して、$23/663 = 1/29$ であると考えるのが自然である。つまり、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ において $29$ の逆元を求める問題であると考えられる。

$29x \equiv 1 \pmod{n}$ を満たす $x$ を見つける必要がある。

3. 最終的な答え

$n$ の値が不明であるため、$29^{-1} \pmod{n}$ となります。

もし$n=30$であれば、$23/663$の値は存在しない。

もし$n=662$であれば、$23/663 \equiv 23 \pmod{662}$.

もし$n=663$であれば、$23/663$の値は存在しない。