与えられた数学の問題を解く。具体的には、式の展開、因数分解、パスカルの三角形の性質の利用、二項定理に関する問題が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。具体的には、式の展開、因数分解、パスカルの三角形の性質の利用、二項定理に関する問題が含まれています。

2. 解き方の手順

**[711新編 数学II 練習1]**

(1) $(x+2)^3$

公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を用いて展開します。

$(x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

(2) $(x-1)^3$

公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を用いて展開します。

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

(3) $(3a+b)^3$

公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を用いて展開します。

$(3a+b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2(b) + 3(3a)(b)^2 + b^3 = 27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3$

(4) $(x-2y)^3$

公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を用いて展開します。

$(x-2y)^3 = x^3 - 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 - (2y)^3 = x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3$

**[711新編 数学II 練習3]**

(1) $(x+2)(x^2-2x+4)$

公式 $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$ を用います。

$(x+2)(x^2-2x+4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$

(2) $(x-3)(x^2+3x+9)$

公式 $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$ を用います。

$(x-3)(x^2+3x+9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$

(3) $(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)$

公式 $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$ を用います。

$(x+3y)(x^2-3xy+9y^2) = x^3 + (3y)^3 = x^3 + 27y^3$

(4) $(2x-a)(4x^2+2ax+a^2)$

公式 $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$ を用います。

$(2x-a)(4x^2+2ax+a^2) = (2x)^3 - a^3 = 8x^3 - a^3$

**[711新編 数学II 練習4]**

(1) $x^3+27$

公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を用います。

$x^3+27 = x^3+3^3 = (x+3)(x^2-3x+9)$

(2) $x^3-1$

公式 $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を用います。

$x^3-1 = x^3-1^3 = (x-1)(x^2+x+1)$

(3) $125x^3+a^3$

公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を用います。

$125x^3+a^3 = (5x)^3+a^3 = (5x+a)((5x)^2-(5x)a+a^2) = (5x+a)(25x^2-5ax+a^2)$

(4) $64x^3-y^3$

公式 $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を用います。

$64x^3-y^3 = (4x)^3-y^3 = (4x-y)((4x)^2+(4x)y+y^2) = (4x-y)(16x^2+4xy+y^2)$

**[711新編 数学II 練習5]**

(1) $x^6-64$

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = (x^3-8)(x^3+8)$.

$x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$

$x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$

$x^6 - 64 = (x-2)(x^2+2x+4)(x+2)(x^2-2x+4) = (x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

(2) $x^6-y^6$

$x^6-y^6 = (x^3)^2-(y^3)^2 = (x^3-y^3)(x^3+y^3)$

$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x^6-y^6 = (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

**[711新編 数学II 練習7]**

パスカルの三角形の6行目の数の配列は、1, 5, 10, 10, 5, 1 です。

$(a+b)^5 = 1a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + 1b^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

**[711新編 数学II 練習8]**

(1) $(x+1)^4$

パスカルの三角形の4行目の数は1, 4, 6, 4, 1なので、

$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

(2) $(x-2)^6$

二項定理より、 $(x-2)^6 = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} x^{6-k} (-2)^k$

$(x-2)^6 = \binom{6}{0}x^6(-2)^0 + \binom{6}{1}x^5(-2)^1 + \binom{6}{2}x^4(-2)^2 + \binom{6}{3}x^3(-2)^3 + \binom{6}{4}x^2(-2)^4 + \binom{6}{5}x^1(-2)^5 + \binom{6}{6}x^0(-2)^6$

$(x-2)^6 = x^6 + 6x^5(-2) + 15x^4(4) + 20x^3(-8) + 15x^2(16) + 6x(-32) + 64$

$(x-2)^6 = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$

3. 最終的な答え

[711新編 数学II 練習1]

(1) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

(2) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

(3) $27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3$

(4) $x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3$

[711新編 数学II 練習3]

(1) $x^3 + 8$

(2) $x^3 - 27$

(3) $x^3 + 27y^3$

(4) $8x^3 - a^3$

[711新編 数学II 練習4]

(1) $(x+3)(x^2-3x+9)$

(2) $(x-1)(x^2+x+1)$

(3) $(5x+a)(25x^2-5ax+a^2)$

(4) $(4x-y)(16x^2+4xy+y^2)$

[711新編 数学II 練習5]

(1) $(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

(2) $(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

[711新編 数学II 練習7]

パスカルの三角形の6行目の数の配列: 1, 5, 10, 10, 5, 1

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

[711新編 数学II 練習8]

(1) $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

(2) $x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$