問題は、Z/2371Zにおいて、23 ÷ 663 の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、Z/2371Zにおいて、23 ÷ 663 の値を求めることです。

2. 解き方の手順

Z/2371Zにおいて $23 \div 663$ の値を求めるということは、$23x \equiv 663 \pmod{2371}$ となる $x$ を求めるということです。

これは、$23x = 663 + 2371k$ となる整数 $x, k$ を求めることに等しいです。

つまり、不定方程式 $23x - 2371k = 663$ を解くことになります。

まず、23と2371の最大公約数(GCD)をユークリッドの互除法で求めます。

$2371 = 23 \times 103 + 2$

$23 = 2 \times 11 + 1$

$2 = 1 \times 2 + 0$

よって、GCD(23, 2371) = 1 です。

次に、拡張ユークリッド互除法を用いて、 $23x + 2371y = 1$ となる $x, y$ を求めます。

$1 = 23 - 2 \times 11$

$1 = 23 - (2371 - 23 \times 103) \times 11$

$1 = 23 - 2371 \times 11 + 23 \times 103 \times 11$

$1 = 23 - 2371 \times 11 + 23 \times 1133$

$1 = 23 \times 1134 - 2371 \times 11$

よって、$23 \times 1134 - 2371 \times 11 = 1$ が成り立つことが分かります。

この式に663をかけると、

$23 \times (1134 \times 663) - 2371 \times (11 \times 663) = 663$

$23 \times 751782 - 2371 \times 7293 = 663$

したがって、$x = 751782$ が解の一つとなります。

しかし、Z/2371Z における解なので、 $x \pmod{2371}$ を求める必要があります。

$751782 = 2371 \times 317 + 5$

よって、$x \equiv 5 \pmod{2371}$ です。

3. 最終的な答え

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