(1) $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求める。 (2) $x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求める。 (3) ある整数 $x$ を4倍して15を加えた数が、1以上40以下であるような $x$ の個数を求める。 (4) ある整数 $x$ を3倍した数と、$x$ から4を引いて2倍した数を加えた数が、10以上30以下であるような $x$ の個数を求める。 (5) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A = \{x \,|\, x \leq -2, 6 < x\}$、$B = \{x \,|\, |x| > 2\}$ とするとき、集合 $\overline{A \cup B}$ に含まれる整数の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求める。

(2) $x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求める。

(3) ある整数 $x$ を4倍して15を加えた数が、1以上40以下であるような $x$ の個数を求める。

(4) ある整数 $x$ を3倍した数と、$x$ から4を引いて2倍した数を加えた数が、10以上30以下であるような $x$ の個数を求める。

(5) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A = \{x \,|\, x \leq -2, 6 < x\}$、$B = \{x \,|\, |x| > 2\}$ とするとき、集合 $\overline{A \cup B}$ に含まれる整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + xy + y^2$ を変形する。

$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy$

$x + y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって、$x^2 + xy + y^2 = (\sqrt{5})^2 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

(2)

まず、$x^2 - 3xy + y^2$ を変形する。

$x^2 - 3xy + y^2 = (x+y)^2 - 5xy$

$x + y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \sqrt{10}$

$xy = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{10 - 2}{4} = \frac{8}{4} = 2$

よって、$x^2 - 3xy + y^2 = (\sqrt{10})^2 - 5 \cdot 2 = 10 - 10 = 0$

(3)

$4x + 15$ が1以上40以下なので、不等式を立てる。

$1 \leq 4x + 15 \leq 40$

$-14 \leq 4x \leq 25$

$-\frac{14}{4} \leq x \leq \frac{25}{4}$

$-3.5 \leq x \leq 6.25$

$x$ は整数なので、$x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$

したがって、10個ある。

(4)

$3x + 2(x-4)$ が10以上30以下なので、不等式を立てる。

$10 \leq 3x + 2(x-4) \leq 30$

$10 \leq 3x + 2x - 8 \leq 30$

$10 \leq 5x - 8 \leq 30$

$18 \leq 5x \leq 38$

$\frac{18}{5} \leq x \leq \frac{38}{5}$

$3.6 \leq x \leq 7.6$

$x$ は整数なので、$x = 4, 5, 6, 7$

したがって、4個ある。

(5)

$A = \{x \,|\, x \leq -2, 6 < x\}$、$B = \{x \,|\, |x| > 2\}$ より、$B = \{x \,|\, x < -2, 2 < x\}$

$A \cup B = \{x \,|\, x \leq -2, 2 < x\}$

$\overline{A \cup B} = \{x \,|\, -2 < x \leq 2\}$

$\overline{A \cup B}$ に含まれる整数は $-1, 0, 1, 2$。ただし、問題文に$x \le -2, 6 < x$とあるので-2はAに含まれる。

また、$|x|>2$より$x<-2, 2<x$なので、2はBに含まれないので、$x\le 2$。

$\overline{A \cup B} = \{x \,|\, -2 < x \leq 2\}$ に含まれる整数は、$-1, 0, 1, 2$ の4個。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $0$

(3) $10$ 個

(4) $4$ 個

(5) $4$ 個