ある放物線を、$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-3だけ平行移動し、更に$x$軸に関して対称移動したら、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-3だけ平行移動し、更に$x$軸に関して対称移動したら、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^2-2x+2$ を$x$軸に関して対称移動させます。$x$軸に関して対称移動するということは、$y$を$-y$に置き換えることを意味します。したがって、

$-y = x^2 - 2x + 2$

$y = -x^2 + 2x - 2$

次に、この放物線を$x$軸方向に$1$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動させます。これは、$x$を$x-1$、$y$を$y-3$に置き換えることを意味します。したがって、

$y - 3 = -(x-1)^2 + 2(x-1) - 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 - 2 + 3$

$y = -x^2 + 2x - 1 + 2x - 1$

$y = -x^2 + 4x - 2$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 2$