(1) $y=x^2$の放物線を、頂点が(1, -2)になるように平行移動した放物線の方程式を求める。 (2) 頂点が(3, 0)であり、点(5, 8)を通る放物線の方程式を求める。 (3) 直線$x=0$を軸とし、2点(1, -1), (-2, 5)を通る放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) $y=x^2$の放物線を、頂点が(1, -2)になるように平行移動した放物線の方程式を求める。

(2) 頂点が(3, 0)であり、点(5, 8)を通る放物線の方程式を求める。

(3) 直線$x=0$を軸とし、2点(1, -1), (-2, 5)を通る放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

平行移動を考える。$y=x^2$の頂点は(0, 0)。頂点が(1, -2)になるように平行移動するので、$x$方向に1、$y$方向に-2平行移動する。

したがって、求める放物線の方程式は

$y = (x - 1)^2 - 2$

$y = x^2 - 2x + 1 - 2$

$y = x^2 - 2x - 1$

(2)

頂点が(3, 0)であることから、求める放物線の方程式は$y = a(x - 3)^2 + 0$と表せる。

これが点(5, 8)を通るので、$x=5, y=8$を代入すると、

$8 = a(5 - 3)^2$

$8 = a(2)^2$

$8 = 4a$

$a = 2$

したがって、求める放物線の方程式は$y = 2(x - 3)^2$

$y = 2(x^2 - 6x + 9)$

$y = 2x^2 - 12x + 18$

(3)

軸が$x=0$なので、放物線の方程式は$y = ax^2 + c$と表せる。

2点(1, -1), (-2, 5)を通るので、それぞれ代入すると

$-1 = a(1)^2 + c$

$5 = a(-2)^2 + c$

すなわち

$a + c = -1$

$4a + c = 5$

2式を引き算すると

$3a = 6$

$a = 2$

$c = -1 - a = -1 - 2 = -3$

したがって、求める放物線の方程式は$y = 2x^2 - 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x - 1$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 18$

(3) $y = 2x^2 - 3$