問題は2つあります。 (1) $a > 0$のとき、2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) の最大値が7であるときの定数$a$の値を求めます。 (2) $a > 0$のとき、2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) の最小値が-6であるときの定数$a$の値を求めます。 (3) 放物線 $y = x^2$ を、2点$(2, 3)$, $(5, 0)$を通るように平行移動したとき、その放物線をグラフとする2次関数を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $a > 0$のとき、2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) の最大値が7であるときの定数$a$の値を求めます。

(2) $a > 0$のとき、2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) の最小値が-6であるときの定数$a$の値を求めます。

(3) 放物線 $y = x^2$ を、2点$(2, 3)$, $(5, 0)$を通るように平行移動したとき、その放物線をグラフとする2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ を平方完成します。

$y = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

軸は $x = 2$ です。$1 \le x \le 5$の範囲における最大値を考えます。$a > 0$ より、下に凸のグラフなので、$x = 5$ で最大値をとります。

$x = 5$のとき、$y = a(5 - 2)^2 - 4a + 2 = 9a - 4a + 2 = 5a + 2$

$5a + 2 = 7$より、$5a = 5$なので、$a = 1$

(2) $1 \le x \le 5$の範囲における最小値を考えます。軸は $x = 2$ で、これは定義域内にあります。したがって、$x = 2$ で最小値をとります。

$x = 2$のとき、$y = a(2 - 2)^2 - 4a + 2 = -4a + 2$

$-4a + 2 = -6$より、$-4a = -8$なので、$a = 2$

(3) 放物線 $y = x^2$ を平行移動したものを $y = x^2 + bx + c$ とおきます。

この放物線が$(2, 3)$と$(5, 0)$を通るので、

$3 = 2^2 + 2b + c$

$0 = 5^2 + 5b + c$

これらの式を整理すると、

$2b + c = -1$

$5b + c = -25$

2つの式を引き算すると、 $-3b = 24$となり、$b = -8$

$2(-8) + c = -1$より、$c = 15$

したがって、$y = x^2 - 8x + 15$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $a = 2$

(3) $y = x^2 - 8x + 15$