6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $\tau\sigma$ を求める。 (2) $\sigma^{-1}$ を求める。 (3) $\sigma$ を互換の積で表す。 (4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $\tau\sigma$ を求める。

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tau\sigma$ を求める。

$\tau\sigma$ は $\sigma$ を先に適用し、その結果に $\tau$ を適用することで求めます。

例えば、$\tau\sigma(1) = \tau(\sigma(1)) = \tau(2) = 1$ となります。同様に計算していくと、

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

$\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

となります。

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

$\sigma^{-1}$ は $\sigma$ の逆写像です。$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、上下を入れ替えて整理すると、

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

となります。

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ を巡回置換で表すと $\sigma = (1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$ となります。

これを互換の積で表すには、

$(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5) = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

となります。

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

$\sigma$ は5つの互換の積で表されたので、$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^5 = -1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\text{sgn}(\sigma) = -1$