与えられた関数について、極値が存在すれば、その極値を求める問題です。今回は(4) $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ （$\frac{\pi}{2} < x \le 2\pi$）を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、極値が存在すれば、その極値を求める問題です。今回は(4) $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ （$\frac{\pi}{2} < x \le 2\pi$）を解きます。

2. 解き方の手順

1. 微分する: 商の微分公式を使って、与えられた関数を微分します。

$y' = \frac{(-\sin x)(1 - \sin x) - (\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2} = \frac{-\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2} = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2} = \frac{1}{1 - \sin x}$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求める:

$y' = \frac{1}{1 - \sin x}$ であるため、$y' = 0$ となる $x$ は存在しません。

3. $y'$ が存在しない $x$ を求める:

$y'$ が存在しないのは、分母が0になるときです。つまり、$1 - \sin x = 0$ となる $x$ を求めます。

$\sin x = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)

今回の定義域は$\frac{\pi}{2} < x \le 2\pi$であるため、この範囲では$x = \frac{5\pi}{2}$となりますが、これは定義域外なので考慮しません。

4. 極値を調べる:

$y' = \frac{1}{1 - \sin x}$ は常に正の値を取ります。$\frac{\pi}{2} < x \le 2\pi$の範囲において、$\sin x$は-1から1の間の値を取り、1になることはありません。よって、$y'$ は常に正であり、単調増加する関数なので、極値は存在しません。

3. 最終的な答え

極値は存在しない。